.Problema para ajudar na escola: Último dígito

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)


Determine o algarismo das unidades da soma [tex] \boxed{3^{2020}+4^{2020}}\,[/tex].

Adaptado do 6º Campeonato de Matemática de la Universidad de La Frontera, 2013.

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Ajuda

Algoritmo de Euclides ou Divisão Euclidiana

Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais, com [tex]b\ne 0.[/tex]

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
a \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, b \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
r
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, q
\end{array}\qquad \qquad[/tex]
Ao dividirmos [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] encontraremos um quociente [tex]q\, [/tex] e um resto [tex]\,r [/tex], naturais e únicos, tais que:
[tex] \, \, \, \\ \textcolor{#800000}{(1)} \, \, \, \, \, \, 0 \le r \lt b \, \, \, \, \, \, \,\qquad \textcolor{#800000}{(2)} \, \, a=b\cdot q+r.[/tex]

Solução


Vamos analisar separadamente os algarismos das unidades das potências [tex] 3^{2020}\,[/tex] e [tex] \,4^{2020}\,[/tex].
Observe que:

  • [tex]3^1=3[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]3^\textcolor{red}{1}[/tex] é [tex]\textcolor{red}{3}[/tex].
  • [tex]3^2=9[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]3^\textcolor{#00BF00}{2}[/tex] é [tex]\textcolor{#00BF00}{9}[/tex].
  • [tex]3^3=27[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]3^\textcolor{#FF00FF}{3}[/tex] é [tex]\textcolor{#FF00FF}{7}[/tex].
  • [tex]3^4=81[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]3^\textcolor{#3BB9FF}{4}[/tex] é [tex]\textcolor{#3BB9FF}{1}[/tex].
  • [tex]3^5=243[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]3^\textcolor{red}{5}[/tex] é [tex]\textcolor{red}{3}[/tex].
  • [tex]3^6=729[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]3^\textcolor{#00BF00}{6}[/tex] é [tex]\textcolor{#00BF00}{9}[/tex].

Note que os algarismos das unidades das potências de [tex]3[/tex] são "[tex]3,\; 9,\, 7\,[/tex] ou [tex]1[/tex]" e se repetem ciclicamente, nessa ordem, de quatro em quatro. Assim, conseguimos estabelecer o seguinte padrão:

[tex]\begin{array}{c|c| l}
\text{algarismo das unidades}& \text{expoente}& \text{forma geral do expoente}\\
\hline
\textcolor{red}{3}& n=\textcolor{red}{1},\,1+4=\textcolor{red}{5},\,5+4=\textcolor{red}{9},\cdots&\quad \textcolor{red}{n=4k+1},\,k\in \mathbb{N}\\
\hline
\textcolor{#00BF00}{9}& n=\textcolor{#00BF00}{2},\,2+4=\textcolor{#00BF00}{6},\,6+4=\textcolor{#00BF00}{10},\cdots&\quad \textcolor{#00BF00}{n=4k+2},\,k\in \mathbb{N}\\
\hline
\textcolor{#FF00FF}{7}& n=\textcolor{#FF00FF}{3},\,3+4=\textcolor{#FF00FF}{7},\,7+4=\textcolor{#FF00FF}{11},\cdots&\quad \textcolor{#FF00FF}{n=4k+3},\,k\in \mathbb{N}\\
\hline
\textcolor{#3BB9FF}{1}& n=\textcolor{#3BB9FF}{4},\,4+4=\textcolor{#3BB9FF}{8},\,8+4=\textcolor{#3BB9FF}{12},\cdots&\quad \textcolor{#3BB9FF}{n=4k},\,k\in \mathbb{N}^*\\
\hline
\end{array}
\;[/tex]

Agora, com relação às potências de [tex]4[/tex], observe que:

  • [tex]4^1=4[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]4^\textcolor{#A23BEC}{1}[/tex] é [tex]\textcolor{#A23BEC}{4}[/tex].
  • [tex]4^2=16[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]4^\textcolor{#F87217}{2}[/tex] é [tex]\textcolor{#F87217}{6}[/tex].
  • [tex]4^3=64[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]4^\textcolor{#A23BEC}{3}[/tex] é [tex]\textcolor{#A23BEC}{4}[/tex].
  • [tex]4^4=256[/tex]; assim, o algarismo das unidades de [tex]4^\textcolor{#F87217}{4}[/tex] é [tex]\textcolor{#F87217}{6}[/tex].

Note que os algarismos das unidades das potências de [tex]4[/tex] são "[tex]4\,[/tex] ou [tex]6[/tex]" e se repetem ciclicamente de dois em dois; com isso, conseguimos estabelecer o seguinte padrão:

[tex]\begin{array}{c|c| l}
\text{algarismo das unidades}& \text{expoente}& \text{forma geral do expoente}\\
\hline
\textcolor{#A23BEC}{4}& n=\textcolor{#A23BEC}{1},\,1+2=\textcolor{#A23BEC}{3},\,3+2=\textcolor{#A23BEC}{5},\cdots&\quad \textcolor{#A23BEC}{n \text{ ímpar}}\\
\hline
\textcolor{#F87217}{6}& n=\textcolor{#F87217}{2},\,2+2=\textcolor{#F87217}{4},\,4+2=\textcolor{#F87217}{6},\cdots&\quad \textcolor{#F87217}{ n\text{ par}}\\
\hline
\end{array}
\;[/tex]

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2020 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\,\,4 \, \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\quad \, \, 0
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, 505
\end{array}\qquad \qquad[/tex]
A divisão de [tex]2020[/tex] por [tex]4[/tex], nos indica que [tex]2020[/tex] é múltiplo de [tex]4[/tex], ou seja, da forma [tex]\textcolor{#3BB9FF}{2020=4 \cdot 505}\,.[/tex]
Assim, o algarismo das unidades da potência [tex]3^\textcolor{#3BB9FF}{2020}[/tex] é [tex]\textcolor{#3BB9FF}{1}\,.[/tex]

Por outro lado, [tex]2020[/tex] é um número par; logo, o algarismo das unidades da potência [tex]4^\textcolor{#F87217}{2020}[/tex] é [tex]\textcolor{#F87217}{6}\,.[/tex]
Dessa forma, podemos esquematizar a soma [tex] \boxed{3^{2020}+4^{2020}}\,[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r l}
&\cdots 1\\
+&\cdots 6\\
\hline
&\cdots 7
\end{array}[/tex]
e, portanto, o algarismo das unidades da soma [tex] \boxed{3^{2020}+4^{2020}}\,[/tex] é [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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