.Problema para ajudar na escola: Três números, três produtos

Problema
(A partir da 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)

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Determine os números positivos [tex]a[/tex], [tex]b\,[/tex] e [tex]\,c\,[/tex] tais que [tex]ab=112[/tex], [tex]ac=168\,[/tex] e [tex]\,bc=96\,.[/tex]

Adaptado de VII Concurso de Primavera de Matemáticas, 2003.

Solução 1

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Vamos montar um sistema com as três equações dadas no problema:

[tex]\qquad S=\begin{cases}
ab=112\\
ac=168\\
bc=96
\end{cases}\quad[/tex].

Como [tex]a\ne 0[/tex], [tex]b\ne 0\,[/tex] e [tex]\,c\ne 0\,[/tex], segue que:

[tex]\qquad S= \begin{cases}
ab=112\\
ac=168\\
bc=96
\end{cases}
\; \Longrightarrow\;
\begin{cases}
a=\dfrac{112}{b}\\
a=\dfrac{168}{c}\\
bc=96
\end{cases}
\; \Longrightarrow\;
\begin{cases}
\dfrac{112}{b}=\dfrac{168}{c}\\
bc=96
\end{cases}
\; \Longrightarrow\;\\
\quad \; \Longrightarrow\;
\begin{cases}
b=\dfrac{112c}{168}\\
b=\dfrac{96}{c}
\end{cases}
\; \Longrightarrow\;
\begin{cases}
\dfrac{112c}{168}=\dfrac{96}{c}
\end{cases}
\; \Longrightarrow\;
c^2=144
\; \Longrightarrow\;
c=\pm 12\,.[/tex]

Mas sabemos que [tex]c \gt 0[/tex]; assim:

• [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=12$}\,[/tex];
• [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=\dfrac{96}{c}=\dfrac{96}{12}=8$}\,[/tex];
• [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=\dfrac{112}{b}=\dfrac{112}{8}=14$}\,[/tex].

Conferindo:
[tex]\qquad \boxed{ab=14\cdot 8=112}\,[/tex] ; [tex]\, \boxed{ac=14\cdot 12=168}\,[/tex] ; [tex]\,\boxed{bc=8\cdot 12=96}\,.[/tex]

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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Multiplicando as equações dadas no problema, obtemos:
[tex]\qquad (ab)\cdot (ac)\cdot (bc)=(aa)\cdot (bb)\cdot (cc)=a^2b^2c^2=(abc)^2=1806336[/tex].
Como [tex]a[/tex], [tex]b\,[/tex] e [tex]\,c\,[/tex] são positivos, [tex]abc[/tex] é positivo. Logo, podemos extrair a raiz quadrada em ambos os membros da igualdade [tex]\;(abc)^2=1806336\;[/tex]e obter [tex]abc=\sqrt{1806336}=1344\,.[/tex]

Assim:

• [tex]a=\dfrac{abc}{bc}=\dfrac{1344}{96}=14[/tex],
• [tex]b=\dfrac{abc}{ac}=\dfrac{1344}{168}=8[/tex],
• [tex]c=\dfrac{abc}{ab}=\dfrac{1344}{112}=12[/tex].

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.