.Problema para ajudar na escola: Transformados em múltiplos de 30

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


(ONEM, 2008 – Adaptado) Quantos números com três algarismos distintos satisfazem a propriedade abaixo?

  • Ao substituir o maior algarismo por [tex]1[/tex], o número obtido é múltiplo de [tex]30[/tex].

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Ajuda

Divisibilidade por [tex]3[/tex]: Para um número natural ser divisível por [tex]3[/tex], é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]3[/tex].
Divisibilidade por [tex]10[/tex]: Para um número natural ser divisível por [tex]10[/tex], é necessário e suficiente que ele termine em [tex]0[/tex].
Divisibilidade por [tex]30[/tex]: Para um número natural ser divisível por [tex]30[/tex], é necessário e suficiente que ele seja divisível simultaneamente por [tex]3[/tex] e [tex]10[/tex].

Solução


Suponhamos que [tex]N=abc[/tex] seja um número de três algarismos distintos que satisfaz a propriedade exigida pelo problema.
(Observe que, aqui, a notação [tex]abc[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal:[tex]a[/tex] é o algarismo das centenas, [tex]b[/tex] é o algarismos das dezenas e [tex]c[/tex] o algarismos das unidades.)
Como a propriedade em questão se refere ao maior algarismo de [tex]N[/tex], vamos analisar separadamente três situações: o maior algarismo de [tex]N[/tex] é [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] ou [tex]c[/tex].

(1) O maior algarismo é [tex]c[/tex]:

Este é o caso mais simples de ser analisado. Observe que ao substituirmos [tex]c[/tex] por [tex]1[/tex], ficamos com o número [tex]\boxed{S=ab1}[/tex] que particularmente não é um múltiplo de [tex]10[/tex], pois não termina em [tex]0[/tex]. Consequentemente, o número [tex]S[/tex] resultante da substituição não é múltiplo de [tex]30[/tex] e, portanto, o número [tex]N[/tex] não satisfaz, de fato, a propriedade exigida.
Com isso, este caso está eliminado, ou seja, o maior algarismo de [tex]N[/tex] não pode ser [tex]c[/tex].

(2) O maior algarismo é [tex]b[/tex]:

Neste caso, ao substituirmos [tex]b[/tex] por [tex]1[/tex], ficamos com o número [tex]\boxed{S=a1c}[/tex].

  • Como [tex]S[/tex] é um múltiplo de [tex]30[/tex], particularmente [tex]S[/tex] é um múltiplo de [tex]10[/tex] e, assim, [tex]c=0[/tex]. Com isso, [tex]S[/tex] é da forma [tex]S=a10\,.[/tex]
  • Como [tex]S[/tex] é um múltiplo de [tex]30[/tex], particularmente [tex]S=a10[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex]. Logo, [tex]a+1+0=a+1[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
  • Como os três dígitos de [tex]S[/tex] são distintos, temos nove possibilidades para o algarismo [tex]a[/tex]. Vamos testá-las:

    • Se [tex]a=1[/tex], então [tex]N=110[/tex] e [tex]110[/tex] não é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=2[/tex], então [tex]N=210[/tex] e [tex]210[/tex] é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=3[/tex], então [tex]N=310[/tex] e [tex]310[/tex] não é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=4[/tex], então [tex]N=410[/tex] e [tex]410[/tex] não é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=5[/tex], então [tex]N=510[/tex] e [tex]510[/tex] é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=6[/tex], então [tex]N=610[/tex] e [tex]610[/tex] não é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=7[/tex], então [tex]N=710[/tex] e [tex]710[/tex] não é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=8[/tex], então [tex]N=810[/tex] e [tex]810[/tex] é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]
    • Se [tex]a=9[/tex], então [tex]N=910[/tex] e [tex]910[/tex] não é um múltiplo de [tex]3\,.[/tex]

Temos então apenas três possibilidades para [tex]S[/tex]: [tex]210,\,510,\, 810\,.[/tex] Mas observe que:
Se [tex]S=210[/tex], então [tex]N=2b0[/tex], com [tex]b \gt 2[/tex], já que [tex]b[/tex] é o maior algarismo neste caso. Então, teremos sete casos possíveis para [tex]b[/tex]: [tex]b=3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9[/tex]. Dessa forma, temos neste caso [tex]\boxed{7}[/tex] possibilidades de valores para [tex]N\,.[/tex]
Se [tex]S=510[/tex], então [tex]N=5b0[/tex], com [tex]b \gt 5[/tex] ([tex]b[/tex] é o maior algarismo). Assim, teremos quatro casos possíveis para [tex]b[/tex]: [tex]b=6,\,7,\,8,\,9[/tex]. Logo, conseguimos mais [tex]\boxed{4}[/tex] possibilidades de valores para [tex]N\,.[/tex]
Se [tex]S=810[/tex], então [tex]N=8b0[/tex], com [tex]b \gt 8[/tex]. Portanto, teremos um caso possível para [tex]b[/tex]: [tex]b=9[/tex] e mais [tex]\boxed{1}[/tex] possibilidade de valor para [tex]N\,.[/tex]
Temos então neste segundo caso [tex]7+4+1=12[/tex] números [tex]N[/tex] que satisfazem a propriedade requerida.

(3) O maior algarismo é [tex]a[/tex]:

Neste caso, ao substituirmos [tex]a[/tex] por [tex]1[/tex], ficamos com o número [tex]\boxed{S=1bc}[/tex].

  • Como [tex]S[/tex] é um múltiplo de [tex]30[/tex], particularmente [tex]S[/tex] é um múltiplo de [tex]10[/tex] e, assim, [tex]c=0[/tex]. Com isso, [tex]S[/tex] é da forma [tex]S=1b0\,.[/tex]
  • Como [tex]S[/tex] é um múltiplo de [tex]30[/tex], particularmente [tex]S=1b0[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex]. Logo, [tex]1+b+0=b+1[/tex] é divisível por [tex]3[/tex]. Fazendo as mesmas análises do caso anterior, obtemos três possibilidades para [tex]S[/tex]: [tex]120,\,150,\, 180\,.[/tex]

Agora, observe que:
Se [tex]S=120[/tex], então [tex]N=a20[/tex], com [tex]a \gt 2[/tex], já que aqui [tex]a[/tex] é o maior algarismo. Então, teremos sete casos possíveis para [tex]a[/tex]: [tex]a=3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9[/tex]. Temos neste caso [tex]\boxed{7}[/tex] possibilidades de valores para [tex]N\,.[/tex]
Se [tex]S=150[/tex], então [tex]N=a50[/tex], com [tex]a \gt 5[/tex] ([tex]a[/tex] é o maior algarismo). Assim, teremos quatro casos possíveis para [tex]a[/tex]: [tex]a=6,\,7,\,8,\,9[/tex]. Portanto, conseguimos mais [tex]\boxed{4}[/tex] possibilidades de valores para [tex]N\,.[/tex]
Se [tex]S=180[/tex], então [tex]N=a80[/tex], com [tex]a \gt 8[/tex]. Com isso, teremos um caso possível para [tex]b[/tex]: [tex]b=9[/tex] e mais [tex]\boxed{1}[/tex] possibilidade de valor para [tex]N\,.[/tex]
Neste terceiro caso, obtemos também [tex]7+4+1=12[/tex] números [tex]N[/tex] que satisfazem a propriedade requerida.

Dessa forma, por (1), (2) e (3), concluímos que existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12+12=24$}\,[/tex] números que satisfazem as condições do problema.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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