.Problema para ajudar na escola: Torneio de xadrez

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


A final do torneio de xadrez de uma escola foi entre as equipes “Torre Alta” e “Cavalo Veloz” e dessa final participaram [tex]28[/tex] alunos. Terminados os jogos finais, foi perguntado aos alunos da equipe “Torre Alta” com quantos alunos da equipe “Cavalo Veloz” cada um tinha jogado.

  • O primeiro respondeu que jogou com cinco adversários;
  • o segundo respondeu que jogou com seis;
  • o terceiro respondeu que jogou com sete;
  • e assim sucessivamente, até o último jogador da equipe, que respondeu que havia jogado com todos os alunos da equipe “Cavalo Veloz”.

Quantos alunos da equipe “Torre Alta” participaram da final do torneio?

Solução


Suponha que a equipe “Torre Alta” jogou a final com [tex]n[/tex] integrantes e a equipe Cavalo Veloz com [tex]m[/tex] integrantes. Assim, como participaram [tex]28[/tex] alunos da final, [tex]\boxed{m+n=28} \, \, \, \textcolor{#800000}{(i)} \, .[/tex]
Vamos fazer um quadro com as respostas dadas pelos alunos da equipe “Torre Alta”.

[tex]\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Alunos da Torre Alta}&\text{Adversários do Cavalo Veloz}\\
\hline
\text{Aluno 1}& \text{Jogou com }5=1+4\\
\hline
\text{Aluno 2}& \text{Jogou com }6=2+4\\
\hline
\text{Aluno 3}& \text{Jogou com }7=3+4\\
\hline
\vdots& \vdots\\
\hline
\text{Aluno n}& \text{Jogou com }n+4\\
\hline
\end{array}[/tex]

Como o último jogador da equipe Torre Alta jogou com todos os alunos da equipe “Cavalo Veloz”, então [tex]\boxed{n+4=m} \, \, \, \textcolor{#800000}{(ii)}.[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:

[tex]\qquad \qquad (n+4)+n=28[/tex]
[tex]\qquad \qquad 2n+4=28[/tex]
[tex]\qquad \qquad 2n=24[/tex]
[tex]\qquad \qquad n=12.[/tex]
Portanto, participaram da final do torneio [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$} \, [/tex]alunos da equipe Torre Alta.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-torneio-de-xadrez/