(A) Problema para ajudar na escola: Torneio de xadrez

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

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A final do torneio de xadrez de uma escola foi entre as equipes “Torre Alta” e “Cavalo Veloz” e dessa final participaram [tex]28[/tex] alunos. Terminados os jogos finais, foi perguntado aos alunos da equipe “Torre Alta” com quantos alunos da equipe “Cavalo Veloz” cada um tinha jogado.

• O primeiro respondeu que jogou com cinco adversários;
• o segundo respondeu que jogou com seis;
• o terceiro respondeu que jogou com sete;
• e assim sucessivamente, até o último jogador da equipe, que respondeu que havia jogado com todos os alunos da equipe “Cavalo Veloz”.

Quantos alunos da equipe “Torre Alta” participaram da final do torneio?

Solução

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Suponha que a equipe “Torre Alta” jogou a final com [tex]n[/tex] integrantes e a equipe Cavalo Veloz com [tex]m[/tex] integrantes. Assim, como participaram [tex]28[/tex] alunos da final, [tex]\boxed{m+n=28} \, \, \, \textcolor{#800000}{(i)} \, .[/tex]
Vamos fazer um quadro com as respostas dadas pelos alunos da equipe “Torre Alta”.

[tex]\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Alunos da Torre Alta}&\text{Adversários do Cavalo Veloz}\\
\hline
\text{Aluno 1}& \text{Jogou com }5=1+4\\
\hline
\text{Aluno 2}& \text{Jogou com }6=2+4\\
\hline
\text{Aluno 3}& \text{Jogou com }7=3+4\\
\hline
\vdots& \vdots\\
\hline
\text{Aluno n}& \text{Jogou com }n+4\\
\hline
\end{array}[/tex]

Como o último jogador da equipe Torre Alta jogou com todos os alunos da equipe “Cavalo Veloz”, então [tex]\boxed{n+4=m} \, \, \, \textcolor{#800000}{(ii)}.[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:

[tex]\qquad \qquad (n+4)+n=28[/tex]
[tex]\qquad \qquad 2n+4=28[/tex]
[tex]\qquad \qquad 2n=24[/tex]
[tex]\qquad \qquad n=12.[/tex]
Portanto, participaram da final do torneio [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$} \, [/tex]alunos da equipe Torre Alta.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.