.Problema para ajudar na escola: Todas as diferenças

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(Um Círculo Matemático de Moscou – Adaptado) Amanda escolheu onze números naturais e, dois a dois, calculou todas as diferenças possíveis entre esses números.
É possível garantir que Amanda tenha encontrado alguma diferença divisível por [tex]5[/tex]?
E por [tex]10[/tex]?

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💡 Ajuda para as Soluções 1 e 2 💡

Princípio das casas de pombos: Se tivermos [tex]n+1[/tex] pombos para serem colocados em [tex]n[/tex] casas, então pelo menos uma casa deverá conter mais de um pombo.

(Se você não se conhece esse Princípio, clique AQUI.)

Solução 1


O último algarismo de qualquer número natural é [tex] 0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8 \, [/tex] ou [tex] \, 9[/tex], ou seja, são dez possibilidades. Assim, como Amanda escolheu onze números, na pior das hipóteses, dois deles terminam com o mesmo algarismo. Essa afirmação é bastante intuitiva, mas é garantida matematicamente pelo Princípio das casas de pombos: temos [tex]10[/tex] algarismos finais (casas) para serem associados a [tex]11[/tex] números (pombos); então pelo menos um algarismo final deverá ser associado a mais de um número.
Dessa forma, a diferença de dois dos números que têm o mesmo algarismo final será um número que termina em zero:
[tex] \qquad \qquad a_1a_2\cdots \textcolor{red}{u}-b_1b_2\cdots \textcolor{red}{u}=c_1c_2\cdots \textcolor{red}{0} \, .[/tex]
Bom, um número que termina em zero é divisível por [tex]10[/tex] e, consequentemente, por [tex]5[/tex]. Assim, Amanda com certeza encontrou pelo menos uma diferença divisível por [tex]5[/tex] e por [tex]10.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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💡 Ajuda para a Solução 2 💡

Sejam [tex]n[/tex] e [tex]a[/tex] números naturais, com [tex]a\ne 0.[/tex]
O que acontece com o quociente e o resto da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex]?

Observemos…

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
n \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, a \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
r
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, q
\end{array}\qquad \qquad[/tex]
Ao dividirmos [tex]n[/tex] por [tex]a[/tex] encontraremos um quociente [tex]q [/tex] e um resto [tex]r [/tex], naturais e únicos, tais que:
[tex] \, \, \, (1) \, \, 0 \le r \lt a \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, [/tex] [tex](2) \, \, n=q \times a+r[/tex].

Solução 2


Embora seja possível resolver os itens (a) e (b) simultaneamente, vamos resolvê-los separadamente para reforçar o raciocínio que utilizaremos.

    (a) Utilizando a segunda Ajuda, observamos que, ao dividir um número natural por [tex]5[/tex], podemos obter cinco restos: [tex]0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4[/tex]. Assim, temos [tex]5[/tex] restos para serem associados aos [tex]11[/tex] números escolhidos por Amanda e com isso, pelo Princípio das casas de pombos, pelo menos um resto deverá ser associado a mais de um desses números, digamos números [tex]x[/tex] e [tex]y.[/tex]
    Utilizando a segunda Ajuda novamente, temos:

    [tex] x=5 \, q_1 +r\quad [/tex] e [tex]\quad \, \, y=5\, q_2+r \, [/tex], com [tex]r, \, q_1, \, q_2 \in \mathbb{N}[/tex] tais que [tex]0 \le r \lt 5.[/tex]

    Dessa forma, supondo sem perda de generalidade que [tex]x\gt y[/tex], obtemos que

    [tex] \, x-y=5 \, \left(q_1-q_2 \right)+0[/tex], com [tex] q_1-q_2 \in \mathbb{N}[/tex].

    Pela unicidade do resto em uma divisão, concluímos que a diferença [tex]x-y[/tex] é divisível por [tex]5.[/tex]

    (b) Utilizando a segunda Ajuda, observamos que, ao dividir um número natural por [tex]10[/tex], podemos obter dez restos: [tex]0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9[/tex]. Assim, temos [tex]10[/tex] restos para serem associados aos [tex]11[/tex] números escolhidos por Amanda.
    Logo, pelo Princípio das casas de pombos, pelo menos um resto deverá ser associado a mais de um desses números, digamos os números [tex]t[/tex] e [tex]z.[/tex]
    Utilizando a segunda Ajuda novamente, temos:

    [tex] t=10 \, q_3 +r_1\quad [/tex] e [tex]\quad \, \, z=10\, q_4+r_1 \, [/tex], com [tex]r_1, \, q_3, \, q_4 \in \mathbb{N}[/tex] tais que [tex]0 \le r_1 \lt 10.[/tex]

    Dessa forma, supondo sem perda de generalidade que [tex]t\gt z[/tex], obtemos que

    [tex] \, t-z=10 \, \left(q_3-q_4 \right)+0[/tex], com [tex] q_3-q_4 \in \mathbb{N}[/tex].

    Pela unicidade do resto em uma divisão, concluímos que a diferença [tex]t-z[/tex] é divisível por [tex]10.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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