.Problema para ajudar na escola: Subconjuntos e somas

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Sem efetuar adições, determinar quantos subconjuntos de três elementos do conjunto

[tex]\{245896 \, , \, 985639541 \, , \, 609326959806695631 \, , \, 56823682 \, , \, 147546085389595866 \, , \, 487935968565873\}[/tex]

têm a propriedade de que a soma de seus elementos é um número par.

Solução


No conjunto dado, temos seis números: três pares e três ímpares. Tomados três a três, esses números podem ser assim agrupados:

  • três pares;
  • dois pares e um ímpar;
  • um par e dois ímpares;
  • três ímpares.

Analisando a paridade das somas dos três números nos quatro casos apresentados, temos que:

  • [tex]par+par+par=par[/tex];
  • [tex]par+par+ímpar=ímpar[/tex];
  • [tex]par+ímpar+ímpar=par[/tex];
  • [tex]ímpar+ímpar+ímpar=ímpar[/tex].

Pela exigência do problema, a soma dos três números deve ser um número par, então nos interessa saber quantos subconjuntos com "três números pares" e quantos com "um número par e dois ímpares" podemos formar, a partir do conjunto dado. Vejamos:

[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Como temos apenas três números pares, será possível construir apenas um subconjunto com três números pares.

[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Para a escolha de um número par e dois ímpares, podemos escolher o número par de três modos diferentes. Para cada uma dessas escolhas, temos que escolher dois dentre os ímpares possíveis:

    • o primeiro ímpar pode ser escolhido de três formas diferentes, já que temos três ímpares no conjunto dado;
    • escolhido o primeiro ímpar, podemos escolher o segundo de duas maneiras diferentes.

A princípio, teríamos então [tex]3 \times 3 \times 2 = 18[/tex] maneiras de escolher os três números.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c}
3& \, &3& \, &2\\
\overline{\text{único par}}& \, &\overline{\text{primeiro ímpar}}& \, & \overline{\text{segundo ímpar}}\\
\end{array} [/tex]

No entanto, observe que os conjuntos [tex]\{par \, , \, ímpar_1 \, , \, ímpar_2 \, \}[/tex] e [tex]\{par \, , \, ímpar_2 \, , \, ímpar_1 \, \}[/tex] são iguais. Assim, fixado um número [tex]par[/tex], escolher o [tex]ímpar_1[/tex] e, em seguida, o [tex]ímpar_2[/tex], vai produzir o mesmo subconjunto resultante de escolhermos o [tex]ímpar_2[/tex] e em seguida o [tex]ímpar_1[/tex]. Dessa forma, devemos dividir as [tex]18[/tex] maneiras de escolher os três números por dois, para não contarmos duas vezes os conjuntos que tenham os mesmos números ímpares em sua composição. Com isso teremos [tex]\dfrac{18}{2}=9[/tex] maneiras de escolher um par e dois ímpares.
Observação: Escolhido o número par, observamos que "escolher dois entre os três ímpares é equivalente a escolher um dos três para ficar de fora". Assim, temos três maneiras de escolher o que não irá ficar no conjunto e, com isso, teríamos as mesmas [tex]3 \times 3 =9[/tex] maneiras de escolher os três números, sendo um par e dois ímpares.
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
3& \, &3\\
\overline{\text{único par}}& \, &\overline{\text{dois ímpares}}\\
\end{array} [/tex]

Portanto, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1+9=10$}[/tex] subconjuntos com a propriedade de que a soma de seus elementos é um número par.


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