.Problema para ajudar na escola: Somas de elementos de um conjunto

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


(IMTS – 1992) Um conjunto [tex]A[/tex] é formado por cinco números naturais. Somando os elementos de [tex]A[/tex] dois a dois obtemos:

  • [tex]1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980, 1983, 1984, 1989 [/tex] e [tex]1991.[/tex]

Quais são os elementos do conjunto [tex]A[/tex]?

Solução


Suponhamos que o conjunto em questão seja [tex]A=\{n_1\, ,\, n_2\, ,\, n_3\, ,\, n_4\, ,\, n_5\}[/tex].
Como o conjunto [tex]A[/tex] tem cinco elementos, então os números inteiros [tex]n_1,n_2,n_3,n_4[/tex] e [tex]n_5[/tex] são distintos dois a dois; assim, suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]n_1\lt n_2\lt n_3\lt n_4\lt n_5\, .[/tex]
Observe que as somas dos elementos de [tex]A[/tex] aparecem em ordem crescente:

[tex]1967\lt 1972\lt 1973\lt 1974\lt 1975\lt 1980\lt 1983\lt 1984\lt 1989 \lt 1991[/tex],

logo, [tex]1967[/tex] é a soma dos dois menores elementos de [tex]A[/tex] e [tex]1991[/tex] é a soma dos dois maiores elementos de [tex]A.[/tex] Com isso, obtemos duas relações importantes para a solução do problema:

[tex]n_1+ n_2=1967\, ;\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\\
n_4+ n_5=1991\, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Observe, agora, que
[tex] \qquad \boxed{\left(n_1+n_2\right)+\left(n_1+n_3\right)+\left(n_1+n_4\right)+\left(n_1+n_5\right)+\\
+\left(n_2+n_3\right)+\left(n_2+n_4\right)+\left(n_2+n_5\right)+\\
+\left(n_3+n_4\right)+\left(n_3+n_5\right)+\\
+\left(n_4+n_5\right)=\\
=4\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\right)}[/tex]
é a soma de todas as somas de elementos de [tex]A[/tex] dois a dois; portanto, como
[tex]\quad 1967+1972+1973+1974+1975+1980+1983+\\
\qquad \, +1984+1989+1991=19788,[/tex]
segue das hipóteses do problema que
[tex]\qquad 4\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\right)=19788[/tex],
ou seja,

[tex]n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=4947\, .\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]

Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad \left(n_1+n_2\right)+n_3+\left(n_4+n_5\right)=4947\\
\qquad 1967+n_3+1991=4947\\
\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_3=989$}\, .[/tex]
Por outro lado, observe que [tex]n_1\lt n_2[/tex]; assim, segue que [tex]n_1+n_3\lt n_2+n_3[/tex] e, como [tex]1972[/tex] é a segunda menor soma de elementos de [tex]A[/tex], obtemos mais uma relação entre os elementos de [tex]A:[/tex]

[tex]n_1+ n_3=1972\, .\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]

De forma análoga, note que [tex]1989[/tex] é a segunda maior soma de elementos de [tex]A[/tex] e de [tex]n_4\lt n_5[/tex] segue que [tex]n_3+n_4\lt n_3+n_5[/tex], logo:

[tex]n_3+ n_5=1989\, .\qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]

Substituindo [tex]n_3=989[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad n_1+ n_3=1972\\
\qquad n_1+ 989=1972\\
\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_1=983$}\, .[/tex]
E substituindo [tex]n_3=989[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad n_3+ n_5=1989\\
\qquad 989+n_5=1989\\
\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_5=1000$}\, .[/tex]
Finalmente, substituindo [tex]n_1=983[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad n_1+ n_2=1967\\
\qquad 983+n_2=1967\\
\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_2=984$}[/tex]
e substituindo [tex]n_5=1000[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad n_4+ n_5=1991\\
\qquad n_4+1000=1991\\
\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_4=991$}\, .[/tex]
Portanto, o conjunto [tex]A[/tex] fica assim definido: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=\{983, 984, 989, 991, 1000\}$}\, .[/tex]


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