.Problema para ajudar na escola: Soma, produto e quociente

Problema
(A partir da 2ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)


Existem dois números reais cuja soma, o produto e o quociente sejam iguais entre si?

Solução 1


Sejam [tex]x\,[/tex] e [tex]\, y[/tex] números reais, com [tex]y\ne 0 [/tex], tais que [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}\,.[/tex]
Assim, particularmente, temos o seguinte sistema:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
x+y=x\cdot y\\
x+y=\frac{x}{y}
\end{cases}\,.[/tex]
De [tex]x+y=\frac{x}{y}[/tex] segue que:
[tex]\quad xy+y^2=x\\
\quad x-xy=y^2\\
\quad x(1-y)=y^2\\
\quad x=\dfrac{y^2}{1-y} \text{, para }y\ne 1.[/tex]
Antes de prosseguir, perceba que [tex]y=1[/tex] não satisfaz as condições do problema. De fato, se [tex]y=1[/tex], das equações do sistema obteríamos [tex]x+1=x[/tex]; mas sabemos que [tex]x+1\ne x[/tex] para qualquer [tex]x[/tex] real (caso contrário, concluiríamos que [tex]1=0[/tex], não é?).
Substituindo [tex] x=\dfrac{y^2}{1-y}[/tex] em [tex]x+y=x\cdot y[/tex], segue que
[tex]\quad \dfrac{y^2}{1-y}+y=\dfrac{y^2}{1-y}\cdot y\\
\quad \cancel{y}\cdot\left( \dfrac{y}{1-y}+1\right)=\dfrac{y^2}{1-y}\cdot \cancel{y}\text{, observe que } y \ne 0\\
\quad \dfrac{y}{1-y}+1=\dfrac{y^2}{1-y}\\
\quad y+\left(1-y\right)=y^2\\
\quad y^2=1\\
\quad y=1 \text{ ou } y=-1.
[/tex]
Já sabemos que [tex]y=1[/tex] não satisfaz as condições do problema; assim, [tex]y=-1[/tex] e de [tex]x+y=x\cdot y[/tex] segue que:
[tex]\quad x-1=x\cdot -1\\
\quad x-1=-x\\
\quad 2x=1\\
\quad x=\dfrac{1}{2}.[/tex]
Observe que os valores [tex]x=\frac{1}{2}\,[/tex] e [tex]\,y=-1[/tex] satisfazem, de fato, [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}[/tex]:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}}\,;\, \boxed{\dfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}}\,;\,\boxed{\dfrac{\frac{1}{2}}{-1\,}=-\dfrac{1}{2}}[/tex];
portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{1}{2}$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,[/tex] são os únicos números reais cuja soma, o produto e o quociente são iguais entre si.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Sejam [tex]x\,[/tex] e [tex]\, y[/tex] números reais, com [tex]y\ne 0 [/tex], tais que [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}\,.[/tex]
A igualdade [tex]x\cdot y=\frac{x}{y}[/tex] nos permite concluir que, para [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y^2=1[/tex], donde obtemos dois possíveis valores para [tex]y[/tex]: [tex]y=1[/tex] e [tex]y=-1\,.[/tex]
Antes de prosseguirmos na análise desse valores obtidos, observe que substituindo [tex]x= 0[/tex] na igualdade [tex]x+y=x\cdot y[/tex] obtemos que [tex]y=0[/tex], o que não é possível devido à restrição do problema de que [tex]y\ne 0 [/tex].

  • Note que, substituindo [tex]y=1[/tex] na igualdade [tex]x+y=x\cdot y[/tex], obtemos que [tex]x+1=x[/tex], o que também não é possível, pois [tex]x+1\ne x[/tex] para todo [tex]x[/tex] real (caso contrário teríamos [tex]1=0[/tex]).
  • Agora, substituindo [tex]y=-1[/tex] na igualdade [tex]x+y=x\cdot y[/tex], obtemos a igualdade [tex]x-1=-x[/tex], donde concluímos que [tex]x=\frac{1}{2}\,.[/tex]

Observe que os valores [tex]x=\frac{1}{2}\,[/tex] e [tex]\,y=-1[/tex] satisfazem, de fato, [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}[/tex]:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}}\,;\, \boxed{\dfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}}\,;\,\boxed{\dfrac{\frac{1}{2}}{-1\,}=-\dfrac{1}{2}}[/tex],
Logo, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{1}{2}$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,[/tex] são os únicos números reais que satisfazem as condições do problema.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-soma-produto-e-quociente/