.Problema para ajudar na escola: Soluções de uma equação modular

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)


Quantas soluções reais tem a equação [tex] \, |x – |2x +1 ||= 3 \, [/tex]?

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Lembretes

(1) Definição: Se [tex]A[/tex] é um número real, chamamos de "módulo de [tex]A[/tex]" ou "valor absoluto de [tex]A[/tex]" o número real não negativo denotado por [tex]|A|[/tex] e assim definido:

[tex]|A|= \begin {cases}A,\text{ se } A\geqslant 0\\
-A,\text{ se } A\lt 0 \end{cases}.[/tex]

(2) Propriedade importante: Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] números reais, com [tex]B \gt 0[/tex].
Se [tex]|A|=B[/tex], então [tex]A=B[/tex] ou [tex]A=-B.[/tex]
Reciprocamente, se [tex]A=B[/tex] ou [tex]A=-B[/tex], então [tex]|A|=B[/tex].
Em símbolos:
[tex]\qquad \qquad |A|=B\quad \Rightarrow \quad [/tex] [tex]A=B \, \, [/tex] ou [tex] \, \, A=-B \, \, \, \, [/tex]
e
[tex]\qquad \qquad A=B \, \, [/tex] ou [tex] \, \, A=-B \quad\Rightarrow\quad[/tex][tex]|A|=B [/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \qquad |A|=B\quad \iff \quad [/tex] [tex]A=B \, \, [/tex] ou [tex] \, \, A=-B \, . [/tex]

Solução


Utilizando o Lembrete (2) , temos que:
[tex]\qquad |x – |2x +1 ||= 3 \, \, \Rightarrow \, \, \begin {cases}x – |2x +1 |=-3\\
\text{ou}\\
x – |2x +1 |=3 \end{cases} \,\, [/tex];

assim, temos duas novas equações modulares para resolver: a solução da equação original será a união das soluções dessas duas equações. Vamos lá!

  • Equação 1: [tex]x -|2x+1|=-3[/tex]
  • Podemos reescrever a Equação 1 como [tex]|2x +1|=x+3[/tex] e é nessa forma que vamos resolvê-la.
    Observe, inicialmente, que temos uma condição de existência para a igualdade [tex]|2x +1|=x+3[/tex], já que [tex]|2x +1|\geqslant 0[/tex]:
    [tex]x+3 \geqslant 0[/tex], ou seja, [tex]x \geqslant -3.[/tex]
    Isso significa que, depois de efetuarmos os cálculos, devemos verificar se os valores encontrados satisfazem a condição de serem iguais a [tex]-3[/tex] ou maiores do que [tex]-3.[/tex]
    Poderíamos resolver a equação [tex]|2x +1|=x+3[/tex] como uma equação modular, mas vamos pegar um caminho diferente, elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado. Acompanhem:

    [tex]\qquad \left(|2x +1|\right)^2=\left(x+3\right)^2[/tex]
    [tex]\qquad \left(2x +1\right)^2=x^2+6x+9[/tex]
    [tex]\qquad 4x^2+4x+1=x^2+6x+9[/tex]
    [tex]\qquad 3x^2-2x-8=0.[/tex]
    Assim,
    [tex]\qquad x=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+96}}{6}\\
    \qquad x=\dfrac{2 \pm 10}{6}\,,[/tex]
    donde
    [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{2+10}{6}=2}\qquad[/tex] ou [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{2-10}{6}=\dfrac{-4}{ \, \, 3}}.[/tex]

    Sabemos que [tex]2 \gt -3 [/tex] e que [tex]\dfrac{-4}{ \, \, 3} \gt -3 [/tex]; assim, ambos os valores são, de fato, soluções da Equação 1 e, consequentemente, da equação inicial.

  • Equação 2: [tex]x – |2x +1 |=3[/tex]
  • Podemos reescrever a Equação 2 como [tex]|2x +1|=x-3[/tex] e é nessa forma que vamos resolvê-la.
    Observe que aqui temos também uma condição de existência para a igualdade em questão:
    [tex]x-3 \geqslant 0[/tex], ou seja, [tex]x \geqslant 3.[/tex]
    Isso significa que devemos verificar se os valores que encontraremos satisfazem a condição de serem iguais a [tex]3[/tex] ou maiores do que [tex]3.[/tex]
    Vamos resolver a equação [tex]|2x +1|=x-3[/tex] elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado. Vejam:

    [tex]\qquad \left(|2x +1|\right)^2=\left(x-3\right)^2[/tex]
    [tex]\qquad \left(2x +1\right)^2=x^2-6x+9[/tex]
    [tex]\qquad 4x^2+4x+1=x^2-6x+9[/tex]
    [tex]\qquad 3x^2+10x-8=0[/tex]
    e, assim,
    [tex]\qquad x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{100+96}}{6}\\
    \qquad x=\dfrac{-10 \pm 14}{6}\,,[/tex]
    donde
    [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{-10+14}{6}=\dfrac{2}{3}}\qquad[/tex] ou [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{-10-14}{6}=-4}.[/tex]

    Vejam que nenhum desses valores satisfaz a condição de existência da igualdade [tex]|2x +1|=x-3[/tex], já que [tex]\dfrac{2}{3}\lt 3[/tex] e [tex]-4 \lt 3.[/tex] Dessa forma, a Equação 2 não contribui com novas soluções para a equação original.

Pelo exposto, concluímos que a equação [tex] \, \boxed{|x-|2x+1||= 3} \, [/tex] tem apenas duas soluções reais: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{-4}{ \, \, 3}$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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