.Problema para ajudar na escola: Será?

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)


  • Considere o número [tex]125[/tex] e o número que obtemos invertendo a ordem de seus dígitos: [tex]521[/tex].
    Agora, vamos fazer a diferença entre o maior e o menor desses dois números e, em seguida, vamos somar essa diferença com o número que obtemos invertendo a ordem de seus dígitos.
  • Vamos aplicar o mesmo procedimento a partir do número [tex]411[/tex]:
  • Isso foi uma coincidência ou o procedimento apresentado resulta sempre em [tex]1089[/tex], independentemente do número de três dígitos que seja utilizado?

    Solução


    No problema, temos que verificar se o procedimento apresentado resulta SEMPRE em [tex]1089[/tex], INDEPENDENTEMENTE do número de três dígitos que seja utilizado.
    As duas palavras destacadas, SEMPRE e INDEPENDENTEMENTE, indicam que devemos fazer uma análise genérica tomando por base um número [tex]n[/tex] de três algarismos.
    Seja, então, [tex]n=abc[/tex] o número dado e [tex]m=cba[/tex] o que obtemos invertendo a ordem dos algarismos de [tex]n[/tex].
    (Antes de prosseguir, observe que aqui as notações [tex]abc[/tex] e [tex]cba[/tex] não indicam produtos e sim a representação dos números de três algarismos [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] no sistema decimal.)
    Ao fazermos a diferença entre o maior e o menor desses dois números, estamos implicitamente supondo que eles são distintos (até porque, se eles forem iguais, a diferença entre eles seria zero e a propriedade em questão não seria verificada); portanto, suponha, sem perda de generalidade, que [tex]n \gt m[/tex]. Neste caso, como [tex]abc \gt cba[/tex], perceba que [tex]a \gt c[/tex], já que [tex]a \lt c[/tex] implica em [tex]m \lt n[/tex] e [tex]a = c[/tex] implica em [tex]m=n[/tex] [tex](n=aba=cbc=m)\,.[/tex]
    Dessa forma, ao fazermos o esqueminha da subtração, colocando os números de forma que tenhamos os algarismos da centena, dezena e unidade do menor embaixo dos algarismos da centena, dezena e unidade do maior, respectivamente, teremos um probleminha para começar a fazer a subtração.

    [tex]\begin{array}{c c c }
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \,a&b&c\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \end{array}\,-[/tex]

    Percebeu?
    Como [tex]c \lt a[/tex], não podemos tirar [tex]a[/tex] unidades de [tex]c[/tex]. Então, o jeito é emprestar uma unidade de dezena do [tex]b[/tex] para o [tex]c[/tex] no minuendo da subtração (lembre-se de que [tex]\textcolor{#3BB9FF}{1}[/tex] dezena corresponde a [tex]\textcolor{red}{10}[/tex] unidades):

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \,&b-\textcolor{#3BB9FF}{1}&c+\textcolor{red}{10}\,\\
    \,a&\cancel{b}&\cancel{c}\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \end{array}\,[/tex][tex]\begin{array}{l}
    \\
    \\
    -\\
    \\
    \end{array}[/tex]

    e fazer esta subtração:

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    a\,&b-\textcolor{#3BB9FF}{1}&c+\textcolor{red}{10}\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \end{array}\,-[/tex]

    Pronto, feita a diferença relativa à coluna das unidades, ficamos com outro probleminha: na coluna das dezenas, não conseguimos tirar [tex]b[/tex] unidades de [tex]b-1[/tex] unidades.

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    a\,&b-\textcolor{#3BB9FF}{1}&c+\textcolor{red}{10}\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \,&&(c+10)-a\,\end{array}\,-[/tex]

    Agora, o jeito é emprestar uma unidade de centena do [tex]a[/tex] para o [tex]b-1[/tex] no minuendo da subtração; e lembre-se de que [tex]\textcolor{#FF00FF}{1}[/tex] centena corresponde a [tex]\textcolor{#3BB9FF}{10}[/tex] dezenas:

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \,&(b-\textcolor{#3BB9FF}{1})+\textcolor{#3BB9FF}{10}&\,\\
    \,a-\textcolor{#FF00FF}{1}&\cancel{b-\textcolor{#3BB9FF}{1}}&c+\textcolor{red}{10}\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \,&&(c+10)-a\,\end{array}\,-[/tex]

    e fazer a diferença relativa à coluna das dezenas.

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \,a-\textcolor{#FF00FF}{1}&(b-\textcolor{#3BB9FF}{1})+\textcolor{#3BB9FF}{10}&c+\textcolor{red}{10}\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \,&9&(c+10)-a\,\end{array}\,-[/tex]

    Já podemos, então, finalizar a nossa subtração.

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \,a-\textcolor{#FF00FF}{1}&(b-\textcolor{#3BB9FF}{1})+\textcolor{#3BB9FF}{10}&c+\textcolor{red}{10}\,\\
    \,c&b&a\,\\
    \hline
    \,(a-1)-c&9&(c+10)-a\,\end{array}\,-[/tex]

    Finalmente, vamos somar a diferença obtida com o número resultante da inversão dos algarismos dessa diferença, observe:

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \textcolor{#FF00FF}{1}&&\\
    \,(a-1)-c&9&(c+10)-a\,\\
    \,(c+10)-a&9&\,(a-1)-c\,\\
    \hline
    \,1-1+10&8&\,10-1\,\\
    \end{array}\,\;\;+[/tex]

    ou seja

    [tex]\begin{array}{c|c|c}
    \textcolor{#52D017}{Mi}&\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\textcolor{#3BB9FF}{De}&\textcolor{red}{Un}\\
    \textcolor{#52D017}{1}&&\\
    &\,(a-1)-c&9&(c+10)-a\,\\
    &\,(c+10)-a&9&\,a-1-c\,\\
    \hline
    1&\,0&8&9\,\\
    \end{array}\,\;\;+[/tex]

    Portanto, não foi uma coincidência termos obtido [tex]1089[/tex] aplicando o procedimento proposto nos dois exemplos apresentados.
    Apenas uma observação: o número inicialmente escolhido deve ter os algarismos da unidade e da centena distintos, para que o número obtido com a inversão dos algarismos seja distinto do original.


    Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

    Participou da discussão o Clube Matemática em casa.

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