.Problema para ajudar na escola: Senos e cossenos

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)


Determinar o menor número real positivo [tex]x[/tex] tal que [tex]\boxed{\text{sen}\,2x \cdot \text{sen}\,3x = \cos 2x \cdot \cos 3x}[/tex].

explicador_p

Observe que o problema pede uma solução real, assim vamos trabalhar com os argumentos das funções trigonométricas em radianos e não em graus.

Solução


Precisamos relembrar uma propriedade da trigonometria conhecida como cosseno da soma para resolver este problema:
[tex]\qquad\qquad \boxed{ \cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b- \text{sen } a \cdot \text{sen }b} \, .[/tex]
A partir dessa propriedade, podemos afirmar que:
[tex]\qquad\qquad \cos 2x \cdot \cos 3x- \text{sen } 2x \cdot \text{sen }3x =\cos(2x+3x) = \cos 5x \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
e, a partir da igualdade fornecida pelo problema, obtemos que:
[tex]\qquad\qquad \cos 2x \cdot \cos 3x – \text{sen} 2x \cdot \text{sen} 3x=0.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], concluímos que [tex]\cos 5x=0 \, [/tex]; assim, precisamos determinar o menor número real positivo [tex]x[/tex] para o qual [tex]\boxed{\cos 5x=0} \, [/tex].
Dado que [tex]\cos\dfrac{\pi}{2} =0 \, [/tex], temos que [tex]\cos 5x =\cos \dfrac{\pi}{2} \, [/tex] e, portanto, [tex]5x =\pm \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \, [/tex], com [tex]k\in \mathbb{Z}.[/tex]
Pelo exposto, o conjunto solução da equação [tex]\cos 5x =0 \, [/tex] é
[tex]\qquad \qquad S=\{x\in \mathbb{R} \text{ tal que } x=\pm\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}\text{, com } k \text{ inteiro}\} \, .[/tex]
Dentre os elementos de [tex]S[/tex], queremos o menor positivo, logo precisamos determinar qual o valor inteiro de [tex]k[/tex] que produz tal elemento. Vamos analisar, separadamente, as soluções da forma [tex]\boxed{x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}}[/tex] e da forma [tex]\boxed{x=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}}[/tex].

  • Quais números da forma [tex]x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}[/tex] são positivos?
  • Vamos calculá-los, observando a seguinte sequência de desigualdades equivalentes:

[tex] \qquad \qquad \dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5} \gt 0\\
\,[/tex]
[tex]\qquad \qquad \dfrac{2k\pi}{5}\gt-\dfrac{\pi}{10} [/tex]
[tex]\qquad \qquad k\pi \gt -\dfrac{5\pi}{20} [/tex]
[tex]\qquad \qquad k\pi \gt -\dfrac{\pi}{4} [/tex]
[tex]\qquad \qquad k \gt -\dfrac{1}{4}.[/tex]

Observe agora que "quanto menor/maior o valor de [tex]k[/tex], menor/maior será o valor de [tex]x[/tex]"; assim, vamos escolher o menor valor inteiro de [tex]k[/tex] tal que [tex] k \gt -\dfrac{1}{4}. \, [/tex] Claramente observamos que esse valor é [tex]k=0[/tex], e [tex]k=0[/tex] define [tex]\boxed{x_1=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\cdot 0 \cdot\pi}{5}=\dfrac{\pi}{10}} \, .[/tex]

  • Quais números da forma [tex]x=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}[/tex] são positivos?
    Vamos calculá-los observando, agora, a seguinte sequência de desigualdades equivalentes:

[tex] \qquad \qquad -\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5} \gt 0\\
\,[/tex]
[tex]\qquad \qquad \dfrac{2k\pi}{5}\gt\dfrac{\pi}{10} [/tex]
[tex]\qquad \qquad k\pi \gt \dfrac{5\pi}{20} [/tex]
[tex]\qquad \qquad k\pi \gt \dfrac{\pi}{4} [/tex]
[tex]\qquad \qquad k \gt \dfrac{1}{4}. [/tex]

Note mais uma vez que "quanto menor/maior o valor de [tex]k[/tex], menor/maior será o valor de [tex]x[/tex]"; assim, vamos escolher o menor valor inteiro de [tex]k[/tex] tal que [tex] k \gt \dfrac{1}{4} \, . [/tex] Aqui, claramente observamos que o valor é [tex]k=1[/tex] e perceba que [tex]k=1[/tex] define [tex]\boxed{x_2=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\cdot 1 \cdot\pi}{5}=-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{4\pi}{10}=\dfrac{3\pi}{10}} \, .[/tex]
Finalmente, como [tex]\dfrac{\pi}{10} \lt \dfrac{3\pi}{10} \, [/tex], a solução do problema é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{\pi}{10}$} \, .[/tex]


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