.Problema para ajudar na escola: Senhas para cartões de acesso

Problema
(A partir da 2ª série do E. M.) (Nível: Médio)


(UFJF-MG: 2007)Uma empresa fornece a seus funcionários um cartão de acesso ao seu escritório e uma senha, que é um número com quatro algarismos, escolhidos dentre os elementos do conjunto [tex]\{1,2,3,4\}[/tex].
Não são admitidas senhas em que um mesmo algarismo apareça três vezes ou mais.
Qual é o número máximo de senhas que poderão ser oferecidas pela empresa?

Solução


  • Observe inicialmente que, se considerarmos a quantidade de senhas possíveis sem restrições, teremos
    [tex] 4 \times 4 \times 4 \times 4 = \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$256$} \, [/tex] senhas. [tex]\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
  • As senhas nas quais aparece um mesmo algarismo são: 4444; 3333; 2222; 1111.
    Portanto são [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4$} \, [/tex] senhas constituídas por apenas um algarismo.[tex]\quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
  • As senhas nas quais um mesmo algarismo X aparece exatamente três vezes têm os seguintes formatos: _XXX; X_XX; XX_X; XXX_. Assim, fixado um algarismo X, perceba que:

      • o primeiro dígito da senha _XXX pode ser escolhido de três modos diferentes;
      • o segundo dígito da senha X_XX pode ser escolhido de três modos diferentes;
      • o terceiro dígito da senha XX_X pode ser escolhido de três modos diferentes;
      • o quarto dígito da senha XXX_ pode ser escolhido de três modos diferentes.

    Portanto, fixado um algarismo X, podemos construir [tex]4\times 3=12[/tex] senhas contendo exatamente três algarismos iguais a X. E como podemos escolher o algarismo X de 4 maneiras, existem [tex]4\times 12=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$48$} \, [/tex] senhas com três algarismos iguais. [tex]\quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]

Finalizando, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], o número máximo de senhas que poderão ser oferecidas pela empresa em questão é dado por
[tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$256-4-48=204$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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