Problema
(A partir do 2º ano do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Ana, Beatriz e Cecília estavam estudando juntas e encontraram o seguinte problema formulado pelo professor delas, mestre PC:
Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lançar dois dados equilibrados e idênticos seja 7?
• Ana analisa a situação e diz:
– Há 36 casos possíveis para os resultados, dos quais 6 são favoráveis. Logo, a probabilidade de dar a soma 7 é 16.
• Beatriz discorda:
– Ana, como os dados são idênticos, não faz sentido distinguir os resultados (1,2) e (2,1), por exemplo. Logo, há apenas 21 casos possíveis, dos quais 3 são favoráveis. A probabilidade de dar soma 7 é, portanto, 17.
• Cecília discorda de ambas:
– Vocês duas estão complicando a situação sem necessidade…
Há 11 somas possíveis (de 2 a 12). Assim, a probabilidade de dar soma 7 é 111.
Imagem extraída de Freepik
Qual das três está certa?
Adaptado do PAPMEM, 2019.
Lembrete:
A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:
| Probabilidade = | número de casos favoráveis | . |
| número de casos possíveis |
Solução
► Vamos inicialmente acompanhar o raciocínio da Cecília.
É claro que podemos definir o espaço amostral do experimento de "lançar dois dados equilibrados e idênticos e somar os pontos da duas faces voltadas para cima" como Ω1={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, já que não estamos interessados nos números propriamente ditos que aparecem nas duas faces e sim nas suas somas. O problema é que esse espaço não é equiprovável!
Observe que temos apenas uma maneira de obtermos soma 2, saindo 1 nos dois dados, e mais de uma maneira de obtermos soma 5, saindo "1 e 4" e "2 e 3", entre outras possibilidades. Com isso, P({2})≠P({5}) e Ω1 não é equiprovável. Dessa forma, não podemos utilizar a razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis" e, portanto, Cecília não está certa.
► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Beatriz.
O espaço amostral definido pela Beatriz pode ser obtido a partir das possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima dos dados lançados.
Dados12345611 e 11 e 21 e 31 e 41 e 51 e 622 e 12 e 22 e 32 e 42 e 52 e 633 e 13 e 23 e 33 e 43 e 53 e 644 e 14 e 24 e 34 e 44 e 54 e 655 e 15 e 25 e 35 e 45 e 55 e 6 66 e 16 e 26 e 36 e 46 e 56 e 6
Dados12345611 e 11 e 21 e 31 e 41 e 51 e 622 e 22 e 32 e 42 e 52 e 633 e 33 e 43 e 53 e 644 e 44 e 54 e 655 e 55 e 6 66 e 6
Temos, de fato, 21 casos possíveis, mas o espaço amostral da Beatriz não é equiprovável!
Observe que a hipótese de que os dois dados são equilibrados nos garante que o experimento em questão é aleatório, ou seja, nenhuma das faces tem mais chance de sair em um ou em outro dado. Por outro lado, o fato de os dados serem idênticos, ou terem cores diferentes, ou um deles ter uma marquinha em uma de suas faces vai alterar o experimento e as maneiras de obtermos soma 7? NÃO!
Assim, por exemplo,
▬ temos apenas uma maneira de obtermos 1 e 1: 1 no primeiro dado e 1 no segundo dado;
▬ mas temos duas maneiras de obtermos 1 e 2: 1 no primeiro e 2 no segundo dado e 2 no primeiro e 1 no segundo dado. (Pense em um dos dados com uma marquinha; são situações diferentes que ocorrem: 1 no dado com marquinha e 2 no outro dado e 2 no dado com marquinha e 1 no outro.)
Assim, Beatriz também não está certa.
► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Ana:
Podemos definir o espaço amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima.
Dados1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
Observamos com a tabela que temos 36 pares ordenados possíveis de números mostrados nas faces voltadas para cima de cada dado e podemos considerar para o experimento o espaço amostral Ω2={(1,1);(1,2);(1,3);…;(6,4);(6,5);(6,6)}. Neste caso, n(Ω2)=36 e Ω2 é equiprovável, já que os dados são equilibrados.
Utilizando a tabela, vemos que as situações favoráveis a obter soma 7 são:
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) e (6,1).
Consequentemente a probabilidade do evento em questão é:
\qquad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(\{7\})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$}\\
\,
e, portanto, Ana está correta!
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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