.Problema para ajudar na escola: Qual o resto?

Problema
(A partir do 6º ano do E. F.) (Nível: Médio)


Qual o valor do resto da divisão de [tex]2^{150}[/tex] por [tex]7[/tex]?

Dica

A observação e generalização de padrões e regularidades pode ser um bom caminho para se resolver problemas de matemática que envolvam sequências numéricas…

Solução


Vamos observar os restos das divisões dos primeiros termos da sequência [tex]\left\{2^{0}, \, 2^{1}, \, 2^{2},\cdots, \, 2^{n},\cdots \, \right\}[/tex] por [tex]7:[/tex]

[tex]2^0:[/tex] [tex]1[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{red}1[/tex] [tex]0[/tex]

[tex]2^1:[/tex] [tex]2[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{blue}2[/tex] [tex]0[/tex]

[tex]2^2:[/tex] [tex]4[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{green}4[/tex] [tex]0[/tex]

[tex]2^3:[/tex] [tex]8[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{red}1[/tex] [tex]1[/tex]

[tex]2^4:[/tex] [tex]16[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{blue}2[/tex] [tex]2[/tex]

[tex]2^5:[/tex] [tex]32[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{green}4[/tex] [tex]4[/tex]
[tex]2^6:[/tex] [tex]64[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{red}1[/tex] [tex]9[/tex]
[tex]2^7:[/tex] [tex]128[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{blue}2[/tex] [tex]18[/tex]

[tex]2^8:[/tex] [tex]256[/tex] [tex]7[/tex]
[tex]\color{green}4[/tex] [tex]36[/tex]

Observe que a cada três potências de [tex]2[/tex] os restos se repetem:

  • para [tex]2^0[/tex] tivemos resto [tex]\color{red}1 \, [/tex];
  • para [tex]2^1[/tex] tivemos resto [tex]\color{blue}2 \, [/tex];
  • para [tex]2^2[/tex] tivemos resto [tex]\color{green}4 \, [/tex];
  • para [tex]2^3[/tex] tivemos resto [tex]\color{red}1 \, [/tex];
  • para [tex]2^4[/tex] tivemos resto [tex]\color{blue}2 \, [/tex];
  • para [tex]2^5[/tex] tivemos resto [tex]\color{green}4 \, [/tex];
  • para [tex]2^6[/tex] tivemos resto [tex]\color{red}1 \, [/tex];
  • para [tex]2^7[/tex] tivemos resto [tex]\color{blue}2 \, [/tex];
  • para [tex]2^8[/tex] tivemos resto [tex]\color{green}4 \, [/tex];

e esse padrão é mantido nas divisões de outras potências de [tex]2[/tex] por [tex]7[/tex]. (Você saberia justificar essa afirmação?)

O padrão observado nos indica que:

  • "as potências com expoentes múltiplos de [tex]3[/tex]" apresentam resto [tex]\color{red}1 \, [/tex], quando divididas por [tex]7; \, [/tex]
  • "as potências com expoentes múltiplos de [tex]3[/tex] mais [tex]1[/tex]" apresentam resto [tex]\color{blue}2 \, [/tex], quando divididas por [tex]7; \, [/tex]
  • "as potências com expoentes múltiplos de [tex]3[/tex] mais [tex]2[/tex]" apresentam resto [tex]\color{green}4 \, [/tex], quando divididas por [tex]7; \, [/tex]

assim, para sabermos o resto da divisão de [tex]2^{150}[/tex] por [tex]7[/tex], basta observarmos que [tex]150[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex], portanto, o resto da divisão de [tex]2^{150}[/tex] por [tex]7[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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