.Problema para ajudar na escola: Quadrado Mágico

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Um Quadrado Mágico (QM) de ordem [tex]3[/tex] é construído distribuindo-se os números de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] nas casas de uma tabela [tex]3 \times 3[/tex], um em cada casa, de maneira que a soma dos números de cada coluna, linha ou diagonal seja sempre a mesma.

Explique porque, na construção de um QM de ordem [tex]3[/tex], o número [tex]5[/tex] deve ser colocado necessariamente no centro da tabela.

Solução


Em primeiro lugar, note que [tex]1+2+…+9=45[/tex] e, como os números são distribuídos em três linhas de mesma soma, esta soma constante (chamada Constante Mágica) deve ser [tex]45\div3=15 .[/tex]
Uma das explicações mais elegantes sobre o motivo pelo qual o [tex]5[/tex] deve ser colocado necessariamente no centro do quadrado tem a ver com as possíveis somas de três números de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex], com resultado [tex]15[/tex], sem repetição de números.
São elas:
[tex]\qquad 1+5+9=15[/tex]
[tex]\qquad 1+6+8=15[/tex]
[tex]\qquad 2+4+9=15[/tex]
[tex]\qquad 2+5+8=15[/tex]
[tex]\qquad 2+6+7=15[/tex]
[tex]\qquad 3+4+8=15[/tex]
[tex]\qquad 3+5+7=15[/tex]
[tex]\qquad 4+5+6=15 [/tex] .
Note, agora, que o número do centro do QM deve ser uma das parcelas de quatro somas distintas com resultado [tex]15[/tex] (somas de uma linha, de uma coluna e de duas diagonais).

Mas, verificando as opções acima, observamos que o único número que faz parte de quatro somas distintas é o [tex]5[/tex]:
[tex]\qquad 1+\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}+9=15[/tex]
[tex]\qquad 2+\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}+8=15[/tex]
[tex]\qquad 3+\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}+7=15[/tex]
[tex]\qquad 4+\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5$}+6=15 [/tex].
Assim, o número [tex]5[/tex] deve ser colocado, necessariamente, no centro da tabela que define um Quadrado Mágico (QM) de ordem [tex]3[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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