.Problema para ajudar na escola: Quadrado, circunferência, quadrado

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

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Na figura, vemos um quadrado inscrito em uma circunferência que, por sua vez, está inscrita em um outro quadrado.
Cada lado do quadrado externo mede $4 \, cm$.

Qual a área em $cm^2$ da região colorida de amarelo?

Solução 1

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Observando a figura do problema, vemos que a área da região colorida de amarelo pode ser calculada fazendo a diferença entre a área do círculo e a área do quadrado interno:
$\qquad \qquad \boxed{A_{am}=A_{circ}-A_{qi}}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Para calcularmos essas duas áreas que definem a área solicitada no problema, precisaremos do raio do círculo e do lado do quadrado interno que aparecem na figura.
Note que, como cada lado do quadrado externo mede $4 \, cm$ e a circunferência que define o círculo está inscrita nesse quadrado, o raio do círculo é $2 \, cm.$ Assim, a área do círculo é:
$\qquad \qquad \boxed{A_{circ}=4\pi \, cm^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Para calcularmos o comprimento $l$ do lado do quadrado interno, vamos ter um pouquinho mais de trabalho. Perceba, inicialmente, que o interior desse quadrado pode ser decomposto em quatro triângulos retângulos isósceles cujos lados congruentes medem $2 \, cm$, já que estes lados são raios do círculo da figura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras a um desses triângulos, obtemos que:
$\qquad l^2=2^2+2^2\\ \qquad l^2=8 \\ \qquad l=\pm \sqrt{8}\\ \qquad l=\pm 2\sqrt{2}$
$\qquad l=2\sqrt{2} \, cm$, já que $l \gt 0$ por ser um comprimento.
Logo, a área do quadrado interno é:
$\qquad \qquad \boxed{A_{qi}=8 \, cm^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$

Finalizando, por $\textcolor{#800000}{(i)}$, $\textcolor{#800000}{(ii)}$ e $\textcolor{#800000}{(iii)}$, segue que:
$\qquad A_{am}=A_{circ}-A_{qi}=\left(4\pi-8\right) \, cm^2.$
Portanto, a área da região colorida de amarelo é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\left(4\pi-8\right) \, cm^2$} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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A figura do problema nos sugere que a área da região colorida de amarelo pode ser calculada fazendo a diferença entre a área do círculo e a área do quadrado interno, conforme denotamos a seguir:
$\qquad \qquad A_{am}=A_{circ}-A_{qi}.$
Assim, se $l$ e $R$ são os comprimentos em centímetros dos lados do quadrado interno e do raio, respectivamente, segue que
$\qquad \qquad \boxed{A_{am} = \pi R^2 – l^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Mas sabemos que o raio da circunferência é $2\,cm$, logo a diagonal do quadrado mede $4\,cm$; portanto, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos que:
$\qquad \qquad l^2 + l^2 = d^2\\ \qquad \qquad 2l^2 = 4^2 \\ \qquad \qquad \boxed{l^2 = 8\ cm^2} \, .$

Logo, segue de $\textcolor{#800000}{(i)}$ que
$\qquad \qquad A_{am} = \pi \cdot 2^2 – 8 \\ \qquad \qquad A_{am} = 4\pi – 8$
e, assim, a área da região colorida de amarelo é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\left(4\pi-8\right) \, cm^2$} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 3

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Se o quadrado externo tem 4 cm de cada lado, a circunferência inscrita nele terá 4 cm de diâmetro. Consequentemente, o raio da circunferência terá 2 cm. Usando a fórmula a=π.r² para calcular a área do círculo, temos que:
a=3,14.2²
a=3,14.4
a=12,56
A área da circunferência será aproximadamente 12,56 cm².
Como a diagonal do quadrado inteiro é um diâmetro da circunferência, o comprimento da diagonal do quadrado interno é 4 cm. Dividindo o quadrado interno em 2 partes, a partir da diagonal, teremos 2 triângulos retângulos. Usando o Teorema de Pitágoras:
d²=l²+l²
d²=2l²
l²=d²/2
l²=4²/2
l²=16/2
l²=8
l=√8
l=√2³
l=2√2
Descobrimos então que o lado do quadrado interno é 2√2. Como a área do quadrado é l*l, a área do quadrado será 2√2*2√2=8 cm². Agora basta subtrair esse valor da área do círculo, para saber a área colorida de amarelo: 12,56-8,00=4,56.
Resposta: A área colorida de amarelo na figura será de 4,56 cm², aproximadamente.

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Solução elaborada pelo COM OCTETO MATEMÁTICO.