.Problema para ajudar na escola: Pares inteiros!

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Quantos pares de números inteiros [tex](m,n)[/tex] satisfazem a igualdade [tex] \, \boxed {\dfrac{m^2}{2}+\dfrac{5}{n}=7} \, ?[/tex]

Solução


Ao multiplicarmos a equação dada por [tex]2[/tex] obtemos [tex] \, \boxed {m^2+\dfrac{10}{n}=14} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Veja que [tex]m \, [/tex] e [tex] \, 14[/tex] são números inteiros; assim, [tex]\dfrac{10}{n}[/tex] é também um número inteiro. Portanto, [tex]n[/tex] é um divisor de [tex]10 \, [/tex] e, assim, [tex]n \in \left\{\pm1 \, , \, \pm2 \, , \, \pm5 \, , \, \pm10 \, \right\} \, .[/tex]
Vamos analisar, então, cada possibilidade para [tex]n[/tex], substituindo os seus possíveis valores na equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e verificando se os valores que obteremos para [tex]m[/tex] são números inteiros.

  • Para [tex]n=1[/tex], obtemos:
    [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{1}=14[/tex]
    [tex]\qquad m^2+10=14[/tex]
    [tex]\qquad m^2=4[/tex]
    [tex]\qquad m=\pm2 \, .[/tex]
    Como [tex]2 \, [/tex] e [tex] \, -2[/tex] são números inteiros, então os pares [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(2,1)$} \, [/tex] e [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(-2,1)$}[/tex] satisfazem a igualdade.
  • Para [tex]n=-1[/tex], obtemos:
    [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{-1}=14[/tex]
    [tex]\qquad m^2-10=14[/tex]
    [tex]\qquad m^2=24[/tex]
    [tex]\qquad m=\pm\sqrt{24} \, .[/tex]
    Como [tex]\sqrt{24} \, [/tex] e [tex] \, -\sqrt{24}[/tex] não são números inteiros, descartamos a possibilidade [tex]n=-1 \, .[/tex]
  • Para [tex]n=2[/tex], obtemos:
    [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{2}=14[/tex]
    [tex]\qquad m^2+5=14[/tex]
    [tex]\qquad m^2=9[/tex]
    [tex]\qquad m=\pm3 \, .[/tex]
    Como [tex]3 \, [/tex] e [tex] \, -3[/tex] são números inteiros, então os pares [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(3,2)$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(-3,2)$}[/tex] satisfazem a igualdade.
    • Para [tex]n=-2[/tex], obtemos:
      [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{-2}=14[/tex]
      [tex]\qquad m^2-5=14[/tex]
      [tex]\qquad m^2=19[/tex]
      [tex]\qquad m=\pm\sqrt{19} \, .[/tex]
      Como [tex]\sqrt{19} \, [/tex] e [tex] \, -\sqrt{19}[/tex] não são números inteiros, descartamos a possibilidade [tex]n=-2 \, . [/tex]
      • Para [tex]n=5[/tex], obtemos:
        [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{5}=14[/tex]
        [tex]\qquad m^2+2=14[/tex]
        [tex]\qquad m^2=12[/tex]
        [tex]\qquad m=\pm\sqrt{12} \, .[/tex]
        Como [tex]\sqrt{12} \, [/tex] e [tex] \, -\sqrt{12}[/tex] não são números inteiros, descartamos a possibilidade [tex]n=5 \, . [/tex]
        • Para [tex]n=-5[/tex], obtemos:
          [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{-5}=14[/tex]
          [tex]\qquad m^2-2=14[/tex]
          [tex]\qquad m^2=16[/tex]
          [tex]\qquad m=\pm4 \, .[/tex]
          Como [tex]4 \, [/tex] e [tex] \, -4[/tex] são números inteiros, então os pares [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(4,-5)$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(-4,-5)$}[/tex] satisfazem a igualdade.
          • Para [tex]n=10[/tex], obtemos:
            [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{10}=14[/tex]
            [tex]\qquad m^2+1=14[/tex]
            [tex]\qquad m^2=13[/tex]
            [tex]\qquad m=\pm\sqrt{13} \, .[/tex]
            Como [tex]\sqrt{13} \, [/tex] e [tex] \, -\sqrt{13}[/tex] não são números inteiros, descartamos a possibilidade [tex]n=10 \, . [/tex]
            • Para [tex]n=-10[/tex], obtemos:
              [tex]\qquad m^2+\dfrac{10}{-10}=14[/tex]
              [tex]\qquad m^2-1=14[/tex]
              [tex]\qquad m^2=15[/tex]
              [tex]\qquad m=\pm\sqrt{15} \, .[/tex]
              Como [tex]\sqrt{15} \, [/tex] e [tex] \, -\sqrt{15}[/tex] não são números inteiros, descartamos a possibilidade [tex]n=-10 \, . [/tex]

              Pelo exposto, são [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$seis$} \, [/tex] os pares de números inteiros [tex](m,n)[/tex] que satisfazem a igualdade [tex] \, \boxed {\dfrac{m^2}{2}+\dfrac{5}{n}=7} \, .[/tex]


              Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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