.Problema para ajudar na escola: Pares e ímpares

Link do problema para dispositivos da Apple.

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Separando todos os números naturais da sequência

$1, 2, \dots , 2010, 2011$ em dois conjuntos, um com todos os pares e outro com todos os ímpares, qual a diferença positiva entre as somas dos números desses dois conjuntos?

Para resolver este problema você pode precisar da soma
$\quad \quad 1+2+3+\cdots +t =\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}$ .
Se você não se lembra dela, clique AQUI.

Solução 1

Observe que, ao separamos os pares e ímpares da sequência

$1, 2, \dots , 2010, 2011$ em dois conjuntos, ficamos com três somas de elementos:

a soma de todos os elementos:
$T=1+2+3+\cdots +2010+2011$ ;
a soma dos pares:
$P=2+4+6+\cdots +2008+2010$ ;
a soma dos ímpares:
$I=1+3+5+\cdots +2009+2011$ .

Utilizando a fórmula $\boxed{1+2+3+\cdots +t =\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}},$ podemos obter $T$ e $P$ . Observe:

$T=1+2+3+\cdots +2010+2011=\dfrac{2012\cdot 2011}{2}=2023066$ ;
$P=2+4+6+\cdots +2008+2010=2(1+2+3+\cdots +1004+1005)\\ \quad =\dfrac{2\cdot 1006\cdot 1005}{2}=1011030\,.$

Note, também, que
$\qquad I-P=(T-P)-P=T-2P$ ,
assim
$\qquad |I-P|=|P-I|=|T-2P|$
e a solução do problema é, portanto:
$\qquad |2023066-2\cdot 1011030|= |2023066-2022060|=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1006$} \,$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

O problema poderia também ser resolvido observando a tabela abaixo, na qual:

$I$ indica a sequência dos números ímpares do conjunto $\{1, 2, \dots , 2010, 2011\}$
$P$ indica a sequência dos números pares do conjunto $\{1, 2, \dots , 2010, 2011\}$
$D$ indica a diferença entre os dois números da coluna.

$\qquad \qquad \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} I &1&3&5&\cdots & 2009 & 2011\\ \hline P & &2&4&\cdots & 2008 & 2010\\ \hline D & 1&1&1&\cdots & 1& 1\\ \end{array}$

Perceba que temos $\dfrac{2010}{2}=1005$ números pares e, consequentemente, $1006$ números ímpares. Para cada número par temos exatamente um ímpar uma unidade maior e temos ainda o número $1$ ; portanto, a diferença positiva entre as somas dos números dos conjuntos $\{1, 3, \dots , 2009, 2011\}\,$ e $\, \{2, 4, \dots , 2008, 2010\}$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1006$}\,$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo.
Você pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome, Edge, Firefox, Safari, entre outros), mas também pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader.
Caso o dispositivo que você está utilizando não tenha o Acrobat Reader instalado, é só clicar AQUI para fazer o download adequado ao seu dispositivo.

Arquivo