.Problema para ajudar na escola: Pares e ímpares

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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Separando todos os números naturais da sequência [tex]1, 2, \dots , 2010, 2011[/tex] em dois conjuntos, um com todos os pares e outro com todos os ímpares, qual a diferença positiva entre as somas dos números desses dois conjuntos?

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Para resolver este problema você pode precisar da soma
[tex]\quad \quad 1+2+3+\cdots +t =\dfrac{(1+t)\cdot t}{2} [/tex].
Se você não se lembra dela, clique AQUI.

Solução 1

Observe que, ao separamos os pares e ímpares da sequência [tex]1, 2, \dots , 2010, 2011[/tex] em dois conjuntos, ficamos com três somas de elementos:

  • a soma de todos os elementos:
    [tex]T=1+2+3+\cdots +2010+2011[/tex];
  • a soma dos pares:
    [tex]P=2+4+6+\cdots +2008+2010[/tex];
  • a soma dos ímpares:
    [tex]I=1+3+5+\cdots +2009+2011[/tex].

Utilizando a fórmula [tex]\boxed{1+2+3+\cdots +t =\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}},[/tex] podemos obter [tex]T[/tex] e [tex]P[/tex]. Observe:

  • [tex]T=1+2+3+\cdots +2010+2011=\dfrac{2012\cdot 2011}{2}=2023066[/tex];
  • [tex]P=2+4+6+\cdots +2008+2010=2(1+2+3+\cdots +1004+1005)\\
    \quad =\dfrac{2\cdot 1006\cdot 1005}{2}=1011030\,.[/tex]

Note, também, que
[tex]\qquad I-P=(T-P)-P=T-2P[/tex],
assim
[tex]\qquad |I-P|=|P-I|=|T-2P|[/tex]
e a solução do problema é, portanto:
[tex]\qquad |2023066-2\cdot 1011030|= |2023066-2022060|=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1006$} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

O problema poderia também ser resolvido observando a tabela abaixo, na qual:

  • [tex]I[/tex] indica a sequência dos números ímpares do conjunto [tex]\{1, 2, \dots , 2010, 2011\}[/tex]
  • [tex]P[/tex] indica a sequência dos números pares do conjunto [tex]\{1, 2, \dots , 2010, 2011\}[/tex]
  • [tex]D[/tex] indica a diferença entre os dois números da coluna.

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
I &1&3&5&\cdots & 2009 & 2011\\
\hline
P & &2&4&\cdots & 2008 & 2010\\
\hline
D & 1&1&1&\cdots & 1& 1\\
\end{array}[/tex]

Perceba que temos [tex]\dfrac{2010}{2}=1005[/tex] números pares e, consequentemente, [tex]1006[/tex] números ímpares. Para cada número par temos exatamente um ímpar uma unidade maior e temos ainda o número [tex]1[/tex]; portanto, a diferença positiva entre as somas dos números dos conjuntos [tex]\{1, 3, \dots , 2009, 2011\}\,[/tex] e [tex]\, \{2, 4, \dots , 2008, 2010\}[/tex] é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1006$}\, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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