.Problema para ajudar na escola: Parafusos e pregos

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Uma loja de ferragens está promovendo uma grande liquidação. Seu Bira, um exímio marceneiro, se lembrou de que precisava de parafusos e pregos e entrou na loja para aproveitar a liquidação.

O quilo de parafusos do tipo de que ele precisava está sendo vendido por R$ 20,00 e o quilo de pregos por R$ 15,00. Cada prego pesa 2,5 gramas e cada parafuso pesa 4 gramas.
Seu Bira gastou R$120,00 com a compra e observou que o número de pregos que ele estava levando excedia o número de parafusos em 850 unidades.
Quanto o seu Bira gastou com os parafusos que comprou?

Solução 1


Sejam [tex]PA[/tex] e [tex]PR[/tex] as quantias em reais que seu Bira pagou, respectivamente, pelos parafusos e pregos que comprou.
Assim, pelos dados do problema, [tex]\boxed{PA+PR=120}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Vamos denotar por [tex]a[/tex] a quantidade de parafusos que seu Bira comprou e, por [tex]r[/tex], a de pregos.
Agora, pelos dados do problema, [tex]\boxed{r=a+850}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Para resolvermos o problema, vamos, inicialmente, utilizar duas regrinhas de três simples para determinarmos o preço de cada prego e cada parafuso.
Vamos lá, e lembre-se de que em [tex]1[/tex] quilo temos [tex]1000[/tex] gramas!

Preço de cada prego

Vamos denotar por [tex]x[/tex] o preço de cada prego.
Como cada prego pesa [tex]2,5\,g[/tex], temos a seguinte regra de três:

[tex]\begin{array}{c c c}
1\,kg=1000\,g & \text{——–} & R$\,15,00 \\
2,5\,g & \text{——–} & x \quad \end{array}[/tex]

Dessa forma, obtemos que
[tex]\qquad 1000\,x= 2,5 \times 15[/tex],
donde:
[tex]\qquad x =\dfrac{ 2,5 \times 15}{1000}=0,0375\,\text{ reais} [/tex].

Preço de cada parafuso

Vamos denotar por [tex]y[/tex] o preço de cada parafuso.
Como cada parafuso pesa [tex]4\,g[/tex], temos a seguinte regra de três:

[tex]\begin{array}{c c c}
1\,kg=1000\,g & \text{——–} & R$\,20,00 \\
4\,g & \text{——–} & y \end{array}[/tex]

Dessa forma, obtemos que
[tex]\qquad 1000\,y= 4 \times 20[/tex],
donde:
[tex]\qquad y =\dfrac{ 4 \times 20}{1000}=0,08\, \text{ reais} [/tex].

Como seu Bira comprou [tex]r[/tex] pregos e [tex]a[/tex] parafusos, então

[tex]\,\boxed{PR=0,0375\,r}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{PA=0,08\,a}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]

Dessa forma, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que

[tex]0,0375\,r+0,08\,a=120.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]

Mas, de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], sabemos que [tex]r=a+850[/tex]; assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 0,0375\,(a+850)+0,08\,a=120[/tex]
[tex]\qquad 0,0375\,a+31,875+0,08\,a=120[/tex]
[tex]\qquad 0,0375\,a+0,08\,a=120-31,875[/tex]
[tex]\qquad 0,1175\,a=88,125[/tex]
[tex]\qquad a=\dfrac{88,125}{0,1175}[/tex]
[tex]\qquad a=750.[/tex]
Pelo exposto, seu Bira comprou [tex]750[/tex] parafusos ao preço de [tex]0,08\, reais[/tex] cada; logo, de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], concluímos que:
[tex]\qquad PA=0,08\,a[/tex]
[tex]\qquad PA=0,08 \times 750=60.[/tex]
Portanto, seu Bira gastou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\,60,00$}[/tex] com os parafusos que comprou.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Embora matematicamente correta, a Solução 1 não seria usual no dia a dia das pessoas, uma vez que não é prático se vender ou comprar parafusos utilizando o valor unitário de cada um!
Vamos, então, resolver o problema de uma maneira diferente e, para isso, vamos supor mais uma vez que [tex]PA[/tex] e [tex]PR[/tex] sejam as quantias em reais que seu Bira pagou, respectivamente, pelos parafusos e pregos que comprou.
Assim, utilizaremos novamente a equação [tex]\boxed{PA+PR=120}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Vamos fazer duas observações importantes, a partir dos dados do problema:

  • Veja que um quilo equivale a [tex]1000 [/tex] gramas e cada prego pesa [tex]2,5\,g [/tex]; então, em um quilo, temos [tex]\dfrac{1000}{2,5}=400[/tex] pregos.
  • Como [tex]400[/tex] pregos custam [tex]R$ 15,00[/tex] e seu Bira gastou [tex]PR[/tex] reais com os pregos que comprou, então a quantidade [tex]r[/tex] de pregos comprados por seu Bira equivale a [tex]r=\dfrac{400 \times PR}{15}[/tex].
    Ficou em dúvida? Então veja a regrinha de três abaixo!

    [tex]\begin{array}{c c c}
    \qquad 400\, \text{ pregos} & \text{————–} & RS\,15,00 \qquad \\
    \qquad r\, \text{ pregos} & \text{————–} & PR\qquad \end{array}[/tex]

  • Novamente, um quilo equivale a [tex]1000 [/tex] gramas e agora cada parafuso pesa [tex]4\,g [/tex]; então, em um quilo, temos [tex]\dfrac{1000}{4}=250[/tex] parafusos.
  • Como [tex]250[/tex] parafusos custam [tex]R$ 20,00[/tex] e seu Bira gastou [tex]PA[/tex] reais com os parafusos que comprou, então a quantidade [tex]a[/tex] de parafuso comprados por seu Bira equivale a [tex]a=\dfrac{250 \times PA}{20}[/tex].
    Ficou em dúvida mais uma vez? Não faz mal, veja a próxima regrinha de três !

    [tex]\begin{array}{c c c}
    \qquad 250\, \text{ pregos} & \text{————–} & RS\,20,00 \qquad \\
    \qquad a\, \text{ pregos} & \text{————–} & PA\qquad \end{array}[/tex]

Pelos dados do problema, [tex]r=a+850[/tex]; logo, [tex]r-a=850[/tex] e portanto,

[tex]\dfrac{400 \times PR}{15}-\dfrac{250 \times PA}{20}=850.[/tex]

Mas, por [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex], [tex]PR=120-PA[/tex]; logo, obtemos,

[tex]\dfrac{400 \times \left(120-PA\right)}{15}-\dfrac{250 \times PA}{20}=850.[/tex]

Vamos resolver essa última equação:

[tex]\qquad \dfrac{400 \times \left(120-PA\right)}{15}-\dfrac{250 \times PA}{20}=850\\
\qquad 20 \times 400 \times \left(120-PA\right)-15 \times 250 \times PA=20 \times 15 \times 850\\
\qquad 2\cancel{0} \times 400 \times \left(120-PA\right)-15 \times 25\cancel{0} \times PA=2\cancel{0} \times 15 \times 850\\
\qquad 2 \times 400 \times \left(120-PA\right)-15 \times 25 \times PA=2 \times 15 \times 850\\
\qquad 96000-800\,PA-375\,PA=25500\\
\qquad 96000-1175\,PA=25500\\
\qquad 96000-25500=1175\,PA\\
\qquad 1175\,PA=70500\\
\qquad PA=\dfrac{70500}{1175}=60[/tex]

Portanto, seu Bira gastou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\,60,00$}[/tex] com os parafusos que comprou.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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