(A) Problema para ajudar na escola: Parafusos e pregos

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Uma loja de ferragens está promovendo uma grande liquidação. Seu Bira, um exímio marceneiro, se lembrou de que precisava de parafusos e pregos e entrou na loja para aproveitar a liquidação.

O quilo de parafusos do tipo de que ele precisava está sendo vendido por R$ 20,00 e o quilo de pregos por R$ 15,00. Cada prego pesa 2,5 gramas e cada parafuso pesa 4 gramas.
Seu Bira gastou R$120,00 com a compra e observou que o número de pregos que ele estava levando excedia o número de parafusos em 850 unidades.
Quanto o seu Bira gastou com os parafusos que comprou?

Solução 1

Sejam $PA$ e $PR$ as quantias em reais que seu Bira pagou, respectivamente, pelos parafusos e pregos que comprou.
Assim, pelos dados do problema, $\boxed{PA+PR=120}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Vamos denotar por $a$ a quantidade de parafusos que seu Bira comprou e, por $r$, a de pregos.
Agora, pelos dados do problema, $\boxed{r=a+850}.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$
Para resolvermos o problema, vamos, inicialmente, utilizar duas regrinhas de três simples para determinarmos o preço de cada prego e cada parafuso.
Vamos lá, e lembre-se de que em $1$ quilo temos $1000$ gramas!

Como seu Bira comprou $r$ pregos e $a$ parafusos, então

$\,\boxed{PR=0,0375\,r}\,$ e $\,\boxed{PA=0,08\,a}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$

Dessa forma, por $\textcolor{#800000}{(i)}$, segue que

$0,0375\,r+0,08\,a=120.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$

Mas, de $\textcolor{#800000}{(ii)}$, sabemos que $r=a+850$; assim, de $\textcolor{#800000}{(iv)}$, segue que:
$\qquad 0,0375\,(a+850)+0,08\,a=120$
$\qquad 0,0375\,a+31,875+0,08\,a=120$
$\qquad 0,0375\,a+0,08\,a=120-31,875$
$\qquad 0,1175\,a=88,125$
$\qquad a=\dfrac{88,125}{0,1175}$
$\qquad a=750.$
Pelo exposto, seu Bira comprou $750$ parafusos ao preço de $0,08\, reais$ cada; logo, de $\textcolor{#800000}{(iii)}$, concluímos que:
$\qquad PA=0,08\,a$
$\qquad PA=0,08 \times 750=60.$
Portanto, seu Bira gastou $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\,60,00$}$ com os parafusos que comprou.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Embora matematicamente correta, a Solução 1 não seria usual no dia a dia das pessoas, uma vez que não é prático se vender ou comprar parafusos utilizando o valor unitário de cada um!
Vamos, então, resolver o problema de uma maneira diferente e, para isso, vamos supor mais uma vez que $PA$ e $PR$ sejam as quantias em reais que seu Bira pagou, respectivamente, pelos parafusos e pregos que comprou.
Assim, utilizaremos novamente a equação $\boxed{PA+PR=120}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(v)}$
Vamos fazer duas observações importantes, a partir dos dados do problema:

• Veja que um quilo equivale a $1000$ gramas e cada prego pesa $2,5\,g$; então, em um quilo, temos $\dfrac{1000}{2,5}=400$ pregos.

Como $400$ pregos custam $R$ 15,00$ e seu Bira gastou $PR$ reais com os pregos que comprou, então a quantidade $r$ de pregos comprados por seu Bira equivale a $r=\dfrac{400 \times PR}{15}$.
Ficou em dúvida? Então veja a regrinha de três abaixo!

$\begin{array}{c c c} \qquad 400\, \text{ pregos} & \text{————–} & RS\,15,00 \qquad \\ \qquad r\, \text{ pregos} & \text{————–} & PR\qquad \end{array}$

• Novamente, um quilo equivale a $1000$ gramas e agora cada parafuso pesa $4\,g$; então, em um quilo, temos $\dfrac{1000}{4}=250$ parafusos.

Como $250$ parafusos custam $R$ 20,00$ e seu Bira gastou $PA$ reais com os parafusos que comprou, então a quantidade $a$ de parafuso comprados por seu Bira equivale a $a=\dfrac{250 \times PA}{20}$.
Ficou em dúvida mais uma vez? Não faz mal, veja a próxima regrinha de três !

$\begin{array}{c c c} \qquad 250\, \text{ pregos} & \text{————–} & RS\,20,00 \qquad \\ \qquad a\, \text{ pregos} & \text{————–} & PA\qquad \end{array}$

Pelos dados do problema, $r=a+850$; logo, $r-a=850$ e portanto,

$\dfrac{400 \times PR}{15}-\dfrac{250 \times PA}{20}=850.$

Mas, por $\textcolor{#800000}{(v)}$, $PR=120-PA$; logo, obtemos,

$\dfrac{400 \times \left(120-PA\right)}{15}-\dfrac{250 \times PA}{20}=850.$

Vamos resolver essa última equação:

$\qquad \dfrac{400 \times \left(120-PA\right)}{15}-\dfrac{250 \times PA}{20}=850\\ \qquad 20 \times 400 \times \left(120-PA\right)-15 \times 250 \times PA=20 \times 15 \times 850\\ \qquad 2\cancel{0} \times 400 \times \left(120-PA\right)-15 \times 25\cancel{0} \times PA=2\cancel{0} \times 15 \times 850\\ \qquad 2 \times 400 \times \left(120-PA\right)-15 \times 25 \times PA=2 \times 15 \times 850\\ \qquad 96000-800\,PA-375\,PA=25500\\ \qquad 96000-1175\,PA=25500\\ \qquad 96000-25500=1175\,PA\\ \qquad 1175\,PA=70500\\ \qquad PA=\dfrac{70500}{1175}=60$

Portanto, seu Bira gastou $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\,60,00$}$ com os parafusos que comprou.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.