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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
A equação
[tex]\qquad \qquad \dfrac{36^x+36}{20}=6^x[/tex]
tem exatamente duas raízes reais distintas.
Determine o triplo da soma dessas raízes.
Solução
Se [tex]y=6^x[/tex], então [tex]36^x=\left(6^2 \right)^x=6^{2x}=\left(6^x \right)^2=y^2[/tex]. Dessa forma, podemos reescrever a equação dada no problema:
[tex]\qquad \dfrac{36^x+36}{20}=6^x[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{y^2+36}{20}=y[/tex]
[tex]\qquad y^2+36=20y[/tex]
[tex]\qquad y^2-20y+36=0 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, aplicando a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau à equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad y=\dfrac{20 \pm\sqrt{400-144}}{2}[/tex]
[tex]\qquad y=\dfrac{20 \pm\sqrt{256}}{2}[/tex]
[tex]\qquad y=\dfrac{20 \pm 16}{2}[/tex]
[tex]\qquad y_1=\dfrac{20 + 16}{2}=18\qquad [/tex] e [tex]\qquad y_2=\dfrac{20-16}{2}= \, 2.[/tex]
Assim, se [tex]x_1 \, [/tex] e [tex] \, x_2[/tex] são as duas raízes reais da equação [tex]\dfrac{36^x+36}{20}=6^x \, [/tex], segue que [tex]6^{x_1}=18 \, [/tex] e [tex]6^{x_2}=2.[/tex]
Perceba então que:
[tex]\qquad 6^{x_1} \cdot 6^{x_2} =18 \cdot 2[/tex]
[tex]\qquad 6^{x_1+x_2}=36[/tex]
[tex]\qquad 6^{x_1+x_2}=6^2.[/tex]
Portanto, [tex]\boxed{x_1+x_2=2} \, [/tex], donde concluímos que o triplo da soma das raízes reais da equação [tex]\dfrac{36^x+36}{20}=6^x \, [/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3\left(x_1+x_2\right)=3\cdot 2=6$} \, .[/tex]
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