.Problema para ajudar na escola: O maior valor

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Sejam [tex]m \, [/tex] e [tex] \, n[/tex] números naturais tais que [tex]19 \le m \le 49 \, [/tex] e [tex] \, 51 \le n \le 101[/tex].
Qual é o maior valor possível para a expressão [tex]\dfrac{m + n}{ n − m} \, [/tex]?

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Ajuda

A melhor ajuda que podemos dar a você não é apresentar dicas sobre o que fazer, mas lembrar

O QUE NÃO PODEMOS FAZER COM DESIGUALDADES

  • NÃO SUBTRAIAM DESIGUALDADES DIRETAMENTE !

  • NÃO DIVIDAM DESIGUALDADES DIRETAMENTE !

Solução


A princípio, podemos observar que:

    • quanto maior o numerador de uma fração positiva, maior ela será;
    • quanto menor o denominador de uma fração positiva, maior ela será.

Assim, estamos procurando números naturais [tex]m \, [/tex] e [tex] \, n[/tex], nas condições do problema, tais que a soma [tex]m+n[/tex] seja a maior possível e a diferença [tex]n-m[/tex] seja a menor possível.
Dessa forma, vale também observar que:

    • quanto maiores forem os valores de [tex]m \, [/tex] e [tex] \, n[/tex], maior será a soma [tex]m+n[/tex];
    • quanto maior for o valor de [tex]m \, [/tex] e menor o de [tex] \, n[/tex], menor será a diferença [tex]n-m[/tex].

A partir dessas observações, concluímos que a escolha para [tex]m \, [/tex] do maior valor que esse número pode assumir aponta para a obtenção do maior valor para a fração [tex]\dfrac{m + n}{ n − m} \, [/tex]. No entanto, a escolha para o valor de [tex]n \, [/tex] é conflitante: enquanto o maior valor de [tex]n[/tex] maximiza o numerador, é a escolha do menor que minimiza o denominador.
Observe que se já fixássemos o maior valor para [tex]m \, [/tex], [tex]m=49[/tex], e testássemos os dois valores extremos para [tex]n \, [/tex], [tex]n=51[/tex] e [tex]n=101[/tex], observaríamos que o primeiro valor seria mais adequado:

  • [tex]\dfrac{49+51}{51-49}=\dfrac{100}{2}=50[/tex]
  • [tex]\dfrac{49+101}{101-49}=\dfrac{150}{52}\approx 2,9.[/tex]

Mas essa não seria uma justificativa adequada, não é? Para uma justificativa, digamos, matemática, podemos procurar uma maneira de reescrever a fração [tex]\dfrac{m + n}{ n − m} \, [/tex] de modo que o seu maior valor não dependa de testes numéricos. Para isso, observe que:

[tex]\qquad \begin{align*}\boxed{\dfrac{m+n}{n−m}}&=\dfrac{m+n+m-m}{n−m}\\
&=\dfrac{(n-m)+2m}{n−m}\\
&=\dfrac{n-m}{n−m}+\dfrac{2m}{n−m}\\
&=\boxed{1+\dfrac{2m}{n−m}}.
\end{align*}[/tex]
Perceba que a fração [tex]\dfrac{m + n}{ n − m} \, [/tex] será maior quando a fração [tex]\dfrac{2m}{n−m} \, [/tex] for maior, e esta fração será maior quando [tex]m \, [/tex] assumir o maior valor possível e [tex]n \, [/tex] o menor valor.
Agora sim, temos uma justificativa adequada para nossa escolha: [tex]m=49[/tex] e [tex]n=51[/tex].
Dessa forma, o maior valor possível para a expressão [tex]\dfrac{m + n}{ n − m} \, [/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{49+51}{51-49}=\dfrac{100}{2}=50$} \, .[/tex]


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