.Problema para ajudar na escola: O desenho da Aline

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


A partir de um grande triângulo equilátero com área de [tex]9 \, cm^2[/tex], Aline fez o desenho mostrado na figura.
Os segmentos de reta internos que ela desenhou são paralelos aos lados do triângulo maior e dividem cada um desses lados em três partes iguais.
Qual a área da parte colorida de amarelo?

Ferramentas que podem ajudar

Propriedade [tex]1[/tex]: Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam ângulos correspondentes congruentes.

0f49

Reta transversal a outras retas é uma reta que intersecta essas outras retas em pontos diferentes.

Propriedade [tex]2[/tex]: Caso de Semelhança A.A. (ângulo – ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.

Propriedade [tex]3[/tex]: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.

Solução 1


Observe a figura abaixo.

  • Perceba que, por múltiplas aplicações da Propriedade 1, podemos concluir que todos os ângulos indicados por 1 têm a mesma medida, assim como os indicados com 2.

Essa observação sobre a congruência dos ângulos destacados na figura nos dá uma primeira informação importante para resolvermos o problema:

  • pela Propriedade 2, os triângulos [tex]T_1 \, [/tex], [tex]T_2 \, [/tex], [tex]T_3[/tex] e o original são semelhantes.

(Na verdade, como o triângulo original é equilátero, todas as medidas dos ângulos desses quatro triângulos são iguais, ou seja, os ângulos indicados por 1 e por 2 são congruentes.)

Como os lados do triângulo maior foram divididos em três partes iguais, a razão de semelhança entre o triângulo maior e cada um dos triângulos [tex]T_1 \, [/tex], [tex]T_2 \, [/tex] e [tex]T_3[/tex] é [tex]3[/tex]. Assim, pela Propriedade 3, a área do triângulo maior é nove vezes maior do que a área de cada um desses triângulos pequenos.
Dessa forma, [tex]T_1 \, [/tex], [tex]T_2 \, [/tex] e [tex]T_3[/tex] têm área [tex]\boxed{\dfrac{9}{9}=1 \, cm^2} \, [/tex] cada um.
Por outro lado, observe que a área da região colorida de amarelo é a área do triângulo externo menos a área desses triângulos. Assim, a área da região colorida de amarelo, [tex]A_a \, [/tex], é dada por:
[tex]\qquad A_a=9-3 \times 1=9-3=\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$6 \, cm^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Observe que os segmentos tracejados definem nove triângulos internos ao triângulo maior da figura original.

  • Perceba que as alturas dos triângulos menores têm o mesmo comprimento, pois estão em perpendiculares a retas paralelas que se encontram a uma mesma distância, já que os lados do triângulo maior foram divididos em partes com o mesmo comprimento.
  • As bases dos triângulos menores têm o mesmo comprimento, pois estão em retas paralelas e são limitadas por outras paralelas que se encontram a uma mesma distância.

Assim, os nove triângulos internos ao triângulo maior têm a mesma área e, portanto, cada um tem área de [tex]\dfrac{9}{9}=1\,cm^2.[/tex]
Finalizando, a parte colorida de amarelo é formada por seis desses triângulos internos; assim, sua área é dada por:
[tex]\qquad A_a=6 \times 1=\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$6 \, cm^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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