.Problema para ajudar na escola: Número perfeito multiplicativo

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.) (Nível: Difícil)


Um número natural não nulo [tex]n[/tex] é dito perfeito multiplicativo se o produto dos seus divisores naturais for igual a [tex]n^2[/tex].
Determinar os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos.

explicador_p

Para aprender um pouco mais. . .

Duas propriedades sobre números perfeitos multiplicativos:
[tex]{\color{#800000}(1)}[/tex] Se [tex]n[/tex] for da forma [tex]n=p\cdot q[/tex], com [tex]p \, [/tex] e [tex] \, q[/tex] primos distintos e positivos, então [tex]n[/tex] será um número perfeito multiplicativo.

Com efeito, neste caso os divisores naturais de [tex]n[/tex] são [tex]\boxed{1, \, 2, \, p, \, q, \, p \cdot q} \, [/tex] e o produto desses divisores é
[tex]\qquad \boxed{1\cdot p\cdot q\cdot (p \cdot q) = p^2\cdot q^2 = \left (pq\right)^2=n^2}[/tex].


Observamos que ser da forma [tex]n=p\cdot q[/tex], com [tex]p \, [/tex] e [tex] \, q[/tex] primos distintos e positivos, é o que chamamos na matemática de condição suficiente, mas não necessária, para que [tex]n[/tex] seja um número perfeito multiplicativo. Isso que dizer que se [tex]n[/tex] for dessa forma, então [tex]n[/tex] será perfeito multiplicativo, mas nem todo perfeito multiplicativo tem essa forma ([tex]8[/tex], por exemplo, é perfeito multiplicativo, mas não tem a forma mencionada).

[tex]{\color{#800000}(2)}[/tex] Nenhum primo é perfeito multiplicativo.

Se [tex]p[/tex] é um natural primo, seus únicos divisores naturais são [tex]1, \, p[/tex].
Note que [tex]1\times p=p\ne p^2[/tex].

Solução


Respondendo à pergunta, os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos são:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$ 1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27$}[/tex].
É claro que poderíamos obter essa resposta encontrando, sequencialmente, para cada número todos os seus divisores, fazendo o produto dos divisores encontrados, até obtermos esses dez números, e utilizar argumentos como:

  • [tex]4[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores naturais são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 4} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \boxed{1\times 2 \times 4=8 \ne 16=4^2}[/tex].
  • [tex]6[/tex] é um número perfeito multiplicativo, pois os divisores naturais de [tex]6[/tex] são [tex] \, \, \boxed{1, \, 2, \, 3, \, 6} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \boxed{1\times 2\times 3\times 6=36=6^2}[/tex].

Mas podemos utilizar as duas propriedades apresentadas acima quando possível. Será muito mais rápido; observe.

  • O único divisor natural de [tex]1[/tex] é [tex]1 \, [/tex] e [tex] \, 1=\left(1\right)^2[/tex]. Logo [tex]1[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]2[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]2[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]3[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]3[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]4[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 4} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2 \times 4=8 \ne 16=4^2[/tex].
  • [tex]5[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]5[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]6=2\times 3[/tex], com [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]6[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]7[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]7[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]8[/tex] é perfeito multiplicativo; pois os divisores naturais de [tex]8[/tex] são [tex] \, \, \boxed{1, \, 2, \, 4, \, 8} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2\times 4\times 8=64=8^2[/tex].
  • [tex]9[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 3, \, 9} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 3 \times 9=27 \ne 81=9^2[/tex].
  • [tex]10=2\times 5[/tex], com [tex]2[/tex] e [tex]5[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]10[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]11[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]11[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]12[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6, \, 12} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2 \times 3\times 4 \times 6\times 12=1728 \ne 144=12^2[/tex].
  • [tex]13[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]13[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]14=2\times 7[/tex], com [tex]2[/tex] e [tex]7[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]14[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]15=3\times 5[/tex], com [tex]3[/tex] e [tex]5[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]15[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]16[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 4, \, 8, \, 16} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2 \times 4\times 8 \times 16=1024\ne 256=16^2[/tex].
  • [tex]17[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]17[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]18[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 3, \, 6, \, 9, \, 18} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2 \times 3\times 6 \times 9 \times 18=5832 \ne 324=18^2[/tex].
  • [tex]19[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]19[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]20[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 4, \, 5, \, 10, \, 20} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2 \times 4\times 5 \times 10 \times 20=8000\ne 400=20^2[/tex].
  • [tex]21=3\times 7[/tex], com [tex]3[/tex] e [tex]7[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]21[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]22=2\times 11[/tex], com [tex]2[/tex] e [tex]11[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]22 [/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]23[/tex] é primo; logo, por [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], [tex]23[/tex] não é perfeito multiplicativo.
  • [tex]24[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, uma vez que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6, \, 8, \, 12, \, 24} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 2 \times 3\ \times 4 \times 6 \times 8\ \times 12 \times 24=331776\ne 576=24^2[/tex].
  • [tex]25[/tex] não é um número perfeito multiplicativo, já que seus divisores são [tex]\boxed{1, \, 5, \, 25} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 5 \times 25=125\ne 625=25^2[/tex].
  • [tex]26=2\times 13[/tex], com [tex]2[/tex] e [tex]13[/tex] primos; logo, por [tex]{\color{#800000}(1)}[/tex], [tex]26[/tex] é perfeito multiplicativo.
  • [tex]27[/tex] é perfeito multiplicativo; pois os divisores naturais de [tex]27[/tex] são [tex] \, \, \boxed{1, \, 3, \, 9, \, 27} \, \, [/tex] e [tex] \, \, 1\times 3\times 9\times 27=729=27^2[/tex].

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