.Problema para ajudar na escola: Muitos pés de alface!

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(ONEM, 2004 – Adaptado) Um agricultor colheu toda a sua plantação de pés de alface e pediu para os seus quatro filhos que agrupassem os pés colhidos, preparando-os para o transporte.

  • O primeiro filho tentou agrupar os pés de alface de onze em onze, mas faltou um.
  • O segundo filho tentou agrupar os pés de alface de treze em treze e sobraram doze pés.
  • O terceiro filho tentou agrupar os pés de alface de sete em sete e também faltou um.
  • O quarto filho, finalmente, agrupou os pés de alface de doze em doze e não faltaram e nem sobraram pés.

Quantos pés de alface o agricultor colheu, sabendo que foram menos de 8 000?

Solução 1


Seja [tex]C[/tex] o número de pés de alface colhidos pelo agricultor e observe que:

  • Pela contagem do primeiro filho, se tivesse sido colhido um pé de alface a mais, seria possível agrupar a colheita em grupos de onze unidades de pés de alface. Assim,
    [tex]C+1[/tex] é um número múltiplo de [tex]11\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
  • Pela contagem do segundo filho, ao separar a colheita em grupos de treze pés de alface, sobraram 12 unidades. Perceba que se tivesse sido colhido um pé de alface a mais teria sido possível separar a colheita de treze em treze pés de alface. Dessa forma,
    [tex]C+1[/tex] é também um número múltiplo de [tex]13\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
  • Pela contagem do terceiro filho, se tivesse sido colhido um pé de alface a mais, seria possível separar os pés de alface em grupos de sete unidades. Por essa informação, concluímos que
    [tex]C+1[/tex] é um número múltiplo de [tex]7\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]

Observe que [tex]7,\, 11 [/tex] e [tex]13[/tex] são números primos distintos e, portanto, não têm fatores em comum. Então para [tex]C+1[/tex] ser, simultaneamente, um múltiplo desses três números, conforme indicam as conclusões [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], [tex]C+1[/tex] deverá ser múltiplo do produto [tex]7 \times 11 \times 13=1001\,.[/tex]
Vamos, então procurar os múltiplos não nulos de [tex]1001[/tex], mas não sem antes lembrar que foram colhidos menos de [tex]8\,000[/tex] pés de alface:
[tex]\qquad C+1= 1001\times 1=1001[/tex], donde [tex]C=1000 \lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 2=2002[/tex], donde [tex]C=2001\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 3=3003[/tex], donde [tex]C=3002\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 4=4004[/tex], donde [tex]C=4003\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 5=5005[/tex], donde [tex]C=5004\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 6=6006[/tex], donde [tex]C=6005\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 7=7007[/tex], donde [tex]C=7006\lt 8000[/tex];
[tex]\qquad C+1= 1001\times 8=8008[/tex]; aqui teríamos um valor de [tex]C[/tex] maior do que [tex]8000[/tex].

Perceba que temos ainda a informação da contagem do quarto filho do agricultor!

  • Pela contagem do quarto filho, agrupando de doze em doze não faltam e nem sobram pés de alface. Isso significa que
    [tex]C[/tex] é um número múltiplo de [tex]12[/tex].
  • Como todo múltiplo de [tex]12[/tex] é um número par, da relação dos sete possíveis valores para [tex]C[/tex] já eliminamos de imediato os valores ímpares e ficamos com as seguintes possibilidades:
    [tex]\qquad 1000,\, 3002,\, 5004,\, [/tex] e [tex]7006[/tex].
    Desses quatro valores, apenas [tex]5004[/tex] é múltiplo de [tex]12[/tex].

[tex]\qquad \begin{array}{r}
1000~\end{array} \begin{array}{|r}
\,12\quad \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \begin{array}{r}
\quad \,\, 4
\end{array}\begin{array}{r}
\;\;\; 83
\end{array}[/tex]
[tex]\;\begin{array}{r}
3002~\end{array} \begin{array}{|r}
\,12\quad \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\;\begin{array}{r}
\quad \,\,2
\end{array}\begin{array}{r}
\;\;\; 250
\end{array}[/tex]
[tex]\;\begin{array}{r}
5004~\end{array} \begin{array}{|r}
\,12\quad \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\;\begin{array}{r}
\quad \,\,0
\end{array}\begin{array}{r}
\;\;\; 417
\end{array}[/tex]
[tex]\;\begin{array}{r}
7006~\end{array} \begin{array}{|r}
\,12\quad \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\;\begin{array}{r}
\quad 10
\end{array}\begin{array}{r}
\;\;\; 583
\end{array}[/tex]

Assim, o agricultor colheu exatamente [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5\,004 $}\,[/tex]pés de alface.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Sabemos que:

  • agrupando de 7 em 7 faltou um pé de alface;
  • agrupando de 11 em 11 faltou 1 um pé de alface;
  • agrupando de 13 em 13 sobraram 12 pés de alface (ou seja, também faltou 1);
  • agrupando de 12 em 12 deu certo;
  • o número de pés de alface é menor que 8000.

Como 7, 11 e 13 são primos distintos, a resposta tem que ser um número múltiplo deles menos 1, e essa diferença deve ser um múltiplo de 12 ao mesmo tempo.
Assim encontramos os múltiplos de 7, 11 e 13 (7×11×13) menores do que 8000 e tiramos 1:

  • 1001-1=1000
  • 2002-1= 2001
  • 3003-1= 3002
  • 4004-1=4003
  • 5005-1=5004
  • 6006-1=6005
  • 7007-1=7006.
  • Descartamos os ímpares, pois não seriam múltiplos de 12, e testamos os que restaram dividindo-os por 12. O único número cuja divisão por 12 é exata é o 5004.
    Assim, a resposta para esse problema é: foram colhidos 5004 pés de alface!


    Solução elaborada pelo Clube INTELIGÊNIOS, com colaboração dos Moderadores do Blog.

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