.Problema para ajudar na escola: Muitas raízes

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


Determinar o valor numérico de [tex]N[/tex],
[tex]\qquad N=\dfrac{\sqrt{23}\left(xy+10\right)}{x+y}+ \dfrac{y+2\sqrt{29}}{x}[/tex],
sabendo que [tex]x=\sqrt{23}+\sqrt{29} \, [/tex] e [tex] \, y=\sqrt{23}-\sqrt{29}[/tex].

Solução


Vamos resolver o problema trabalhando separadamente com cada parcela da soma [tex]N[/tex] proposta.

  • Sabemos que [tex]x=\sqrt{23}+\sqrt{29} \, [/tex] e [tex] \, y=\sqrt{23}-\sqrt{29}[/tex], assim:
    [tex]\qquad xy= \left(\sqrt{23}+\sqrt{29}\right)\times\left(\sqrt{23}-\sqrt{29}\right)[/tex]
    [tex]\qquad xy= \left(\sqrt{23}\right)^2-\left(\sqrt{29}\right)^2[/tex]
    [tex]\qquad xy= 23-29[/tex]
    [tex]\qquad xy= -6, \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
    e, também:
    [tex]\qquad x+y= \left(\sqrt{23}+\sqrt{29}\right)+\left(\sqrt{23}-\sqrt{29}\right)[/tex]
    [tex]\qquad x+y= \left(\sqrt{23}+\sqrt{23}\right)+\left(\sqrt{29}-\sqrt{29}\right)[/tex]
    [tex]\qquad x+y= 2\sqrt{23}+0[/tex]
    [tex]\qquad x+y= 2\sqrt{23}. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
    Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] segue que
    [tex]\qquad N_1=\dfrac{\sqrt{23}\left(xy+10\right)}{x+y}[/tex]
    [tex]\qquad N_1=\dfrac{\sqrt{23}\left(-6+10\right)}{2\sqrt{23}}[/tex]
    [tex]\qquad N_1=\dfrac{\cancel{\sqrt{23}} \times 4}{2\times \cancel{\sqrt{23}}}[/tex]
    [tex]\qquad N_1=\dfrac{4}{2}[/tex]
    [tex]\qquad \boxed{N_1=2}.[/tex]
  • Por outro lado, como [tex]x=\sqrt{23}+\sqrt{29} \, [/tex] e [tex] \, y=\sqrt{23}-\sqrt{29}[/tex], então:
    [tex]\qquad y+2\sqrt{29}=\sqrt{23}-\sqrt{29}+2\sqrt{29}[/tex]
    [tex]\qquad y+2\sqrt{29}=\sqrt{23}+\sqrt{29}[/tex]
    [tex]\qquad y+2\sqrt{29}=x[/tex].
    Portanto,
    [tex]\qquad N_2= \dfrac{y+2\sqrt{29}}{x}[/tex]
    [tex]\qquad N_2= \dfrac{x}{x}[/tex]
    [tex]\qquad \boxed{N_2= 1}[/tex].

Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad N=\dfrac{\sqrt{23}\left(xy+10\right)}{x+y}+ \dfrac{y+2\sqrt{29}}{x}[/tex]
[tex]\qquad N=N_1+ N_2[/tex]
[tex]\qquad N=2+1[/tex],
ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$N=3$}[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-muitas-raizes-quadradas/