.Problema para ajudar na escola: Mais um estranho número racional…

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Sabemos que o número [tex]\boxed{a=5,37241241241\cdots241 \cdots}[/tex] é denominado uma dízima periódica composta e pode ser escrito como [tex]a=5,37\overline{241}.[/tex]
Embora pareça um pouco estranho,
[tex]a[/tex] é um número racional.

Verifique a veracidade dessa afirmação, determinando números naturais [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex], primos entre si, tais que [tex]a=\dfrac{m}{n}.[/tex]
(Só para lembrar, a fração [tex]\dfrac{m}{n}[/tex] que você determinou é conhecida como uma geratriz da dízima [tex]5,37\overline{241}.[/tex])

Solução


(Talvez você esteja pensando com seus botões: – Como é mesmo a fórmula da geratriz de uma dízima?
Bem, esse é um dos problemas de a gente se limitar apenas a decorar fórmulas matemáticas: mais cedo ou mais tarde a gente se esquece delas…)


O desconforto de trabalharmos com números com infinitos dígitos é que não conseguimos sequer escrevê-los e, portanto, não trabalhamos especificamente com eles e sim com aproximações deles! Mas nas dízimas, os infinitos dígitos se repetem periodicamente e isso possibilita que a gente se desfaça deles rapidamente e consiga trabalhar com os próprios números, e não com aproximações. Como? Transformando as chamadas dízimas em frações.

  • Para isso, basta produzir, a partir da dízima em questão, duas dízimas com o mesmo período de tal forma que em ambas esse período venha imediatamente após a vírgula e, em seguida, fazer a diferença entre elas.

No nosso caso, observe que podemos produzir essas duas dízimas com mesmo período deslocando a vírgula, por exemplo, duas e cinco casas decimais à direita. Para isso, vamos multiplicar [tex]a[/tex] por [tex]10^2[/tex] e [tex]10^5[/tex]:
[tex]\qquad 10^2 \times a=10^2 \times 5,37241241241\cdots241 \cdots = 537,241241241\cdots 241 \cdots\\
\qquad 10^5 \times a=10^5 \times 5,37241241241\cdots 241 \cdots = 537241,241241\cdots 241 \cdots\, \,\,.[/tex]
Agora, vamos fazer a diferença positiva entre as duas dízimas obtidas:
[tex]\;10^5 \times a- 10^2 \times a= 537241,\boxed{\,241241\cdots 241 \cdots\,}- 537,\boxed{\,241241241\cdots 241 \cdots}\\
\;\left(10^5 – 10^2 \right)\times a=\left[537241+\left(0,241241\cdots 241 \cdots\,\right)\right]-\left[537+\left(0,241241\cdots 241 \cdots\right)\,\right]\\
\;99900 \times a=537241-537\\
\;~\boxed{a=\dfrac{536704}{99900}}\,.[/tex]
Observe que, de fato [tex]a[/tex] é um número racional, já que [tex]a[/tex] é uma razão entre números inteiros, com o segundo não nulo.
Vamos, agora, simplificar a fração obtida, para escrevermos [tex]a[/tex] com o numerador e o denominador primos entre si:
[tex]\qquad a=\dfrac{\cancelto{2}{536704}}{\cancelto{2}{99900}}=\dfrac{\cancelto{2}{268352}}{\cancelto{2}{49950}}=~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{134176}{24975}$}\,.[/tex]


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