.Problema para ajudar na escola: Letreiros luminosos

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Três letreiros luminosos acendem e apagam com intermitências de [tex]36[/tex], [tex]42[/tex] e [tex]54[/tex] segundos, respectivamente.
Sabendo que esses letreiros acenderam simultaneamente às [tex]21[/tex] horas e [tex]52[/tex] minutos, qual será o próximo horário no qual os letreiros voltarão a acender juntos?

explicador_p

Lembretes

Uma das maneiras de se obter o [tex]mmc[/tex] de dois ou mais números naturais é escrever cada número como produto de fatores primos e lembrar que:

  • O [tex]mmc[/tex] de dois ou mais números é o produto dos fatores primos que aparecem na decomposição de cada número, com cada fator primo elevado ao maior dos expoentes que aparecem nessas decomposições.

Podemos também obter o [tex]mmc[/tex] de dois ou mais números naturais pelo processo da decomposição simultânea, que nos dá diretamente o [tex]mmc[/tex].

Solução


Precisamos calcular inicialmente o intervalo de tempo entre dois acendimentos simultâneos desses letreiros. Em seguida, aplicar esse tempo ao horário das [tex]21[/tex] horas e [tex]52[/tex] minutos.

[tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Como os letreiros acendem e apagam com intermitências de [tex]36[/tex], [tex]42[/tex] e [tex]54[/tex], em um dado momento em que ele acendam juntos, eles voltarão a acender simultaneamente depois de um tempo que corresponde ao mínimo múltiplo comum dos três tempos isolados [tex]mmc(36,42,54).[/tex]
Vamos aproveitar e calcular esse [tex]mmc[/tex] das duas formas indicadas nos Lembretes, para recordar os dois processos.

Fatoração isolada de [tex]36[/tex], [tex]42[/tex] e [tex]54[/tex] em fatores primos:

[tex]\;\begin{array}{r|l }
36 & 2\\
18 & 2\\
9 & 3\\
3 & 3 \\
1&\end{array}
\quad\begin{array}{r|l }
42 & 2\\
21 & 3\\
7 & 7 \\
1&\\
\\
\end{array}
\quad \begin{array}{r|l }
54 & 2\\
27 & 3\\
9 & 3 \\
3 & 3 \\
1&\end{array}[/tex]

Como
[tex]\;36=2^2 \cdot 3^2[/tex] , [tex]42=2 \cdot 3 \cdot 7 [/tex] e [tex]54=2^1 \cdot 3^3[/tex],
pelo primeiro Lembrete, temos que
[tex]\;mmc(36,42,54)=2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^1=756.[/tex]

Processo da decomposição simultânea de [tex]36[/tex], [tex]42[/tex] e [tex]54[/tex]:

[tex]\;\begin{array}{r r r |l}
36 & 42 & 54 & 2 \\
18 & 21 & 27 & 2\\
9 & 21 & 27 & 3\\
3 & 7 & 9 & 3\\
1 & 7 & 3 & 3 \\
1 & 7 & 1 & 7 \\
1 & 1 & 1 &
\end{array}[/tex]

Assim,
[tex]\;mmc(36,42,54)=2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^1=756.[/tex]

Portanto, de qualquer forma, os letreiros acendem simultaneamente a cada [tex]756[/tex] segundos.

[tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] Assim, depois que os letreiros acenderam simultaneamente às [tex]21[/tex] horas e [tex] \, 52[/tex] minutos, eles voltarão a acender juntos [tex]756[/tex] segundos depois.
Para somar esses [tex]756[/tex] segundos ao último horário em que os letreiros acenderam simultaneamente, vamos calcular quantos minutos equivalem a [tex]756[/tex] segundos. Para isso, vamos fazer a divisão de [tex]756[/tex] por [tex]60[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
756\end{array} \begin{array}{|r}
60 \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\underline{156}
\end{array}\begin{array}{r}
12
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
36
\end{array}\begin{array}{r}
\,
\end{array}[/tex]
Já temos que [tex]756[/tex] segundos equivalem a [tex]12[/tex] minutos e [tex]36[/tex] segundos; então, vamos à soma:

[tex]\begin{array} {r r r l}
21\, h&52\, m&00\, s&\\
&12\, m&36\, s&+\\
\hline
21\, h&64m&36\, s&\\
\end{array}[/tex]

Finalmente, observe que [tex]64[/tex] minutos equivalem a [tex]1[/tex] hora e [tex]4[/tex] minutos; assim, depois das [tex]21[/tex] horas e [tex]52[/tex] minutos, os letreiros voltarão a acender juntos às [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\text{22 horas, 4 minutos e 36 segundos}$}.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-letreiros-luminosos/