.Problema para ajudar na escola: Irracionais

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)


Sem utilizar uma calculadora para extrair a raiz quadrada indicada, diga quais destes números são irracionais:

  • [tex]\sqrt{19.600}[/tex] ;
  • [tex]\sqrt{56.628}[/tex] ;
  • [tex]\sqrt{511.225}[/tex].

Para ajudar. . .

Você sabia que se um número natural não é um quadrado perfeito, então a sua raiz quadrada é irracional?

Solução


  • Observe que [tex]19600=196 \times 100= 14^2 \times 10^2=\left(14\times 10\right)^2. \, [/tex]
    Como [tex]19600=\left(140\right)^2 \, [/tex], [tex]\sqrt{19600}=140 \, [/tex] e, na verdade, [tex]\sqrt{19600}\in \mathbb{N}[/tex].
  • Observe a decomposição de [tex]56628[/tex] como produto de fatores primos:
    [tex]\begin{array}{r|l}
    56628& 2\\
    28314& 2\\
    14157& 3\\
    4719& 3 \\
    1573 & 11 \\
    143& 11\\
    13& 13\\
    1&\end{array}[/tex]
    Assim, [tex]56628=\left(2\times 3 \times 11\right)^2 \times 13 \, [/tex]; como [tex]56628[/tex] não é um quadrado perfeito, então [tex]\sqrt{56628}[/tex] é irracional.
  • Observe, também, que
    [tex]\begin{array}{r|l}
    511225& 5\\
    102245& 5\\
    20449& 11\\
    1859& 11 \\
    169& 13\\
    13& 13\\
    1&\end{array}[/tex]
    Logo, [tex]511225=\left(5\times 11 \times 13\right)^2 =\left(715\right)^2 \, [/tex].
    Assim, [tex]\sqrt{511225}=715 \, [/tex], que é também um número natural.

Pelo exposto, dentre os três números apresentados no problema, apenas [tex]\sqrt{56.628}[/tex] é irracional.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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