(A) Problema para ajudar na escola: Irracionais

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)

Sem utilizar uma calculadora para extrair a raiz quadrada indicada, diga quais destes números são irracionais:

• [tex]\sqrt{19\,600}[/tex] ;
• [tex]\sqrt{56\,628}[/tex] ;
• [tex]\sqrt{511\,225}[/tex].

Solução

• Observe que [tex]19600=196 \times 100= 14^2 \times 10^2=\left(14\times 10\right)^2. \, [/tex]
  Como [tex]19600=\left(140\right)^2 \, [/tex], [tex]\sqrt{19600}=140 \, [/tex] e, na verdade, [tex]\sqrt{19600}\in \mathbb{N}[/tex].
• Observe a decomposição de [tex]56628[/tex] como produto de fatores primos:
  [tex]\begin{array}{r|l}
  56628& 2\\
  28314& 2\\
  14157& 3\\
  4719& 3 \\
  1573 & 11 \\
  143& 11\\
  13& 13\\
  1&\end{array}[/tex]
  Assim, [tex]56628=\left(2\times 3 \times 11\right)^2 \times 13 \, [/tex]; como [tex]56628[/tex] não é um quadrado perfeito, então [tex]\sqrt{56628}[/tex] é irracional.
• Observe, também, que
  [tex]\begin{array}{r|l}
  511225& 5\\
  102245& 5\\
  20449& 11\\
  1859& 11 \\
  169& 13\\
  13& 13\\
  1&\end{array}[/tex]
  Logo, [tex]511225=\left(5\times 11 \times 13\right)^2 =\left(715\right)^2 \, [/tex].
  Assim, [tex]\sqrt{511225}=715 \, [/tex], que é também um número natural.

Pelo exposto, dentre os três números apresentados no problema, apenas [tex]\sqrt{56\,628}[/tex] é irracional.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.