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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
Determine o número natural [tex]n[/tex] tal que [tex]\boxed{ \, n!=2^{15} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \, }.[/tex]
AJUDA
Se [tex]n[/tex] é um número natural não nulo, utilizamos a notação [tex]n![/tex] (leia n fatorial) para indicar o produto de todos os números naturais não nulos menores do que ou iguais a [tex]n:[/tex]
[tex] \, \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad \boxed{n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \, \ldots \, \cdot (n-2)\cdot (n-1) \cdot n} \, .[/tex]
Assim, por exemplo, [tex] \, \boxed{3!=1\cdot 2 \cdot 3=6} \, [/tex].
Outro exemplo, [tex] \, \boxed{5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}[/tex].
Para aprender um pouco mais sobre essa notação, visite esta Sala do nosso Blog e leia as informações do primeiro quadro: Fatorial.
Solução
– Um passo importante para resolver este problema é observar o expoente do fator [tex]5[/tex] da decomposição de [tex]n![/tex] como produto de primos positivos. O expoente [tex]3[/tex] indica que existem três números menores do que ou iguais a [tex]n[/tex] que são múltiplos de [tex]5[/tex]; na sequência: [tex]5=1\times 5, \, 10=2\times 5, \, 15=3\times 5[/tex].
Dessa forma, [tex]n[/tex] não é menor do que [tex]15[/tex]; pois, se fosse, apenas [tex]5[/tex] e [tex]10[/tex] contribuiriam com o fator [tex]5[/tex] na decomposição de [tex]n![/tex] e, portanto, o expoente de [tex]5[/tex] seria [tex]2[/tex] e não [tex]3.[/tex] Observe também que todos os primos menores do que [tex]15[/tex] aparecem na decomposição de [tex]n! \, .[/tex] Portanto:
- [tex]n\geqslant 15.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
– Observe agora que [tex]17[/tex] é um número primo e não está na decomposição de [tex]n![/tex]; assim:
- [tex]n\lt 17. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], ficamos com apenas duas opções para [tex]n[/tex]: [tex]n=15[/tex] ou [tex]n=16.[/tex]
– Analisemos agora o expoente do fator [tex]2[/tex] da decomposição de [tex]n![/tex]:[tex] \, 15[/tex]. Para isso, vamos observar os pares de [tex]2[/tex] até [tex]16[/tex] e contar quantas vezes aparece nesses números o fator [tex]2[/tex]:
[tex]\qquad \qquad 2=2^{\textcolor{red}{1}} \, ;\,4=2^{\textcolor{red}{2}} \, ;\,6=2^{\textcolor{red}{1}}\times 3 \, ;\,8=2^{\textcolor{red}{3}} \, ;\,10=2^{\textcolor{red}{1}}\times 5 \, ;\\
\qquad \qquad \quad \quad 12=2^{\textcolor{red}{2}}\times 3 \, ;\,14=2^{\textcolor{red}{1}}\times7 \, ;\, 16=2^{\textcolor{red}{4}}.[/tex]
Note que se [tex]n [/tex] fosse [tex]15[/tex], teríamos [tex]\textcolor{red}{1+2+1+3+1+2+1}=11[/tex] fatores primos [tex]2[/tex] na decomposição de [tex]n![/tex], o que não ocorre.
Já para [tex]n=16[/tex], teríamos [tex]\textcolor{red}{1+2+1+3+1+2+1+4}=15[/tex] fatores primos [tex]2[/tex] na decomposição de [tex]n![/tex], o que é confirmado pelo expoente [tex]15[/tex] do [tex]2[/tex] na decomposição de [tex]n![/tex].
Pelo exposto, concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=16$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.