.Problema para ajudar na escola: Expressões equivalentes?

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(UNIFOR – CE) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais tais que [tex]a \ne \pm b[/tex].
A expressão
[tex]\quad \qquad \dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a^2+ab}{a^2+2ab+b^2 }[/tex]
equivale à expressão
[tex]\qquad \qquad \dfrac{2}{a-b}[/tex] ?

Ajuda

Para resolver este problema, faremos uso dos seguintes produtos notáveis importantes:

    [tex]\textcolor{#800000}{(01)}\quad (a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2 \, ; \, \forall \, a, \, b \, \in \mathbb{R}[/tex].
    [tex]\textcolor{#800000}{(02)}\quad a^2 -b^2= (a+b) \, (a-b) \, ; \, \forall \, a, \, b\in \mathbb{R}.[/tex]
explicador_p

Para relembrar estes e outros produtos notáveis, vocês podem conferir a Sala de Estudos Malabarismos Aritméticos e Algébricos.

Solução


Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais tais que [tex]a \ne \pm b[/tex] e observe a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\qquad \begin{align*}\boxed{\dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a^2+ab}{a^2+2ab+b^2 }}&=\dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a\,\left(a+b\right)}{a^2+2ab+b^2}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(01)}}{=}\dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a\,\left(a+b\right)}{(a+b)^2}\\
&=\dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a\,\cancel{\left(a+b\right)}}{(a+b)\,\cancel{\left(a+b\right)}}\\
& \stackrel{\textcolor{#800000}{(02)}}{=}\dfrac{a^2+ab}{(a+b)\,(a-b)}- \dfrac{a}{(a+b)}\\
& =\dfrac{a^2+ab}{(a+b)\,(a-b)}- \dfrac{a\,(a-b)}{(a+b)\,(a-b)}\\
& =\dfrac{a^2+ab}{(a+b)\,(a-b)}- \dfrac{a^2-ab}{(a+b)\,(a-b)}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(02)}}{=} \dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a^2-ab}{a^2-b^2}\\
&= \dfrac{a^2+ab-(a^2-ab)}{a^2-b^2}\\
&= \dfrac{a^2+ab-a^2+ab}{a^2-b^2}\\
&= \dfrac{\cancel{a^2}+ab-\cancel{a^2}+ab}{a^2-b^2}\\
&= \boxed{\dfrac{2ab}{a^2-b^2}}\\
\end{align*}[/tex]
Por essa sequência, concluímos que [tex]\dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a^2+ab}{a^2+2ab+b^2 }=\dfrac{2ab}{a^2-b^2} \, .[/tex]
Para que a expressão [tex]\dfrac{a^2+ab}{a^2-b^2}- \dfrac{a^2+ab}{a^2+2ab+b^2 }[/tex] seja equivalente à expressão [tex] \dfrac{2}{a-b}[/tex] para quaisquer números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] tais que [tex]a \ne \pm b[/tex], devemos ter [tex]\dfrac{2}{a-b}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}[/tex] e, assim:
[tex]\qquad \dfrac{2}{a-b}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{2}{a-b}=\dfrac{2ab}{(a+b)\,(a-b)}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{\bcancel{2}}{\cancel{a-b}}=\dfrac{\bcancel{2}ab}{(a+b)\,\cancel{(a-b)}}[/tex]
[tex]\qquad 1=\dfrac{ab}{a+b}[/tex]
[tex]\qquad ab=a+b.[/tex]
Dessa forma, para que a equivalência das expressões ocorra, deveríamos ter números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], [tex]a \ne \pm b[/tex], cuja soma fosse igual ao produto. Portanto, para números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] quaisquer, com [tex]a \ne \pm b[/tex], não temos a equivalência proposta.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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