.Problema para ajudar na escola: Expoente do 79

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Qual é o expoente de [tex]79[/tex] na fatoração em primos do número

[tex]\qquad \qquad \boxed{P=1 \times 2 \times 3 \times \, \cdots \, \times 2018 \times 2019}[/tex],

resultado do produto dos números inteiros de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex]?
E qual o expoente de [tex]29[/tex]?

Solução


Para determinar o expoente de [tex]79[/tex] na fatoração em primos do número [tex]P[/tex], vamos inicialmente dividir [tex]2019[/tex] por [tex]79[/tex]:

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2019 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 79 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, \, 44
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, \, \, 25
\end{array}\\ \, \, [/tex]
Como [tex]2019=25 \times 79+44 \, [/tex], existem [tex]25[/tex] múltiplos de [tex]79[/tex] entre [tex]1[/tex] e [tex]2019[/tex] e, portanto, o fator [tex]79[/tex] aparecerá pelo menos [tex]25[/tex] vezes no produto [tex]P.[/tex]

[tex]P=1 \times 2 \times\cdots \times \underbrace{ \, \, 79 \, \, }_{\textcolor{red}{1}\times 79 } \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 158 \, \, }_{\textcolor{red}{2}\times 79} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 237 \, \, }_{\textcolor{red}{3}\times 79} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 1975 \, \, }_{\textcolor{red}{25}\times 79} \times \cdots \times 2019
[/tex]

Por outro lado, [tex]79^2=6241[/tex] e [tex]6241 \gt 2019[/tex]; assim, não há números que sejam múltiplos de potências de [tex]79[/tex] com expoente maior do que [tex]1[/tex] nos números de [tex]1[/tex] a [tex]2019.[/tex]
Portanto, o expoente de [tex]79[/tex] no produto de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] é igual a [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$25$} \, .[/tex]
É bom lembrar que [tex]79[/tex] é um número primo; assim, ele não vai aparecer na decomposição como produto de outros números menores do que ele!

Para determinar o expoente de [tex]29[/tex] na fatoração em primos do número [tex]P[/tex], vamos também fazer uma divisão:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2019 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 29 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, \, 18
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, \, \, 69
\end{array}\\ \, \, [/tex]
Como [tex]2019=69 \times 29+18 \, [/tex], existem [tex]69[/tex] múltiplos de [tex]29[/tex] entre [tex]1[/tex] e [tex]2019[/tex] e, portanto, o fator [tex]29[/tex] aparecerá pelo menos [tex]69[/tex] vezes no produto [tex]P.[/tex]

[tex]P=1 \times 2 \times\cdots \times \underbrace{ \, \, 29 \, \, }_{\textcolor{red}{1}\times 29 } \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 58 \, \, }_{\textcolor{red}{2}\times 29} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 87 \, \, }_{\textcolor{red}{3}\times 29} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 2001 \, \, }_{\textcolor{red}{69}\times 29} \times \cdots \times 2019
[/tex]

Neste caso, há múltiplos de [tex]29^2=841[/tex] nos números de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] e esses múltiplos contribuem com mais fatores [tex]29[/tex] na fatoração do produto [tex]P:[/tex] cada múltiplo de [tex]841[/tex] contribui com mais um fator [tex]29.[/tex]
Para determinar quantos múltiplos de [tex]841[/tex] há no produto [tex]P[/tex], vamos fazer a divisão de [tex]2019[/tex] por [tex]841[/tex].
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r}
2019 \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, 841 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad\begin{array}{r}
\, \, 337
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, \, \, 2
\end{array}\\ \, \, [/tex]
Como [tex]2019=2 \times 841+337[/tex], concluímos que existem dois múltiplos de [tex]841[/tex] entre [tex]1[/tex] e [tex]2019[/tex] e portanto mais dois fatores [tex]29[/tex] na fatoração de [tex]P.[/tex]

[tex]P=1 \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 29 \, \, }_{\textcolor{red}{1}\times 29 } \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 58 \, \, }_{\textcolor{red}{2}\times 29} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 87 \, \, }_{\textcolor{red}{3}\times 29} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 841 \, \, }_{\textcolor{red}{\boxed{29}}\times 29} \times \cdots \\
\qquad \cdots \times \underbrace{ \, \, 1682 \, \, }_{\textcolor{red}{2 \times \boxed{29}}\times 29} \times \cdots \times \underbrace{ \, \, 2001 \, \, }_{\textcolor{red}{69}\times 29} \times \cdots \times 2019
[/tex]

Veja que [tex]29^3=24389[/tex] e [tex]24389 \gt 2019[/tex]; assim, não há números que sejam múltiplos de potências de [tex]29[/tex] com expoente maior do que [tex]2[/tex] nos números de [tex]1[/tex] a [tex]2019.[/tex]
Pelo exposto, o expoente de [tex]29[/tex] no produto de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] é igual a [tex] \, 69+2=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$71$} \, .[/tex]
Aqui também cabe lembrar que [tex]29[/tex] é um número primo; então, ele não vai aparecer na decomposição como produto de outros números menores do que ele!


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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