.Problema para ajudar na escola: Escolha de elementos em um conjunto

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


(UECE, 2015 – Adaptado) Um conjunto A é formado por exatamente oito inteiros positivos e oito inteiros negativos.
De quantas maneiras diferentes podemos escolher quatro elementos de A, de modo que:

(a) o produto dos elementos escolhidos seja um número positivo?

(b) o produto dos elementos escolhidos seja um número negativo?

Lembretes:

explicador_p
Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.

  • O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:

[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\,0 \lt r\leqslant n[/tex].

O quociente [tex]\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!}[/tex] também pode ser denotado por [tex]\dbinom{n}{r}[/tex] e nesse caso é denominado coeficiente binomial ou número binomial.

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para dois eventos: Se

  • um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
  • um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,

e esses dois eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo é [tex]\boxed{m_1\times m_2}\, .[/tex]

Solução


(a) Inicialmente, observe que, para o produto dos quatro números escolhidos ser positivo, só existem três possibilidades:

  • Os quatro números escolhidos são positivos.
  • Os quatro números escolhidos são negativos.
  • Dois números escolhidos são positivos e dois são negativos.

Vejam os três esqueminhas abaixo e lembrem-se de que a multiplicação de números inteiros é comutativa.

[tex] \mathbf{\textcolor{blue}{(+)}\cdot \textcolor{blue}{(+)}\cdot \textcolor{blue}{(+)} \cdot \textcolor{blue}{(+)}= \textcolor{blue}{(+)}}[/tex]

[tex] \mathbf{\textcolor{red}{(-)}\cdot \textcolor{red}{(-)} \cdot \textcolor{red}{(-)} \cdot \textcolor{red}{(-)}= \textcolor{blue}{(+)}}[/tex]

[tex] \mathbf{\textcolor{red}{(-)}\cdot \textcolor{red}{(-)} \cdot \textcolor{blue}{(+)} \cdot \textcolor{blue}{(+)}= \textcolor{blue}{(+)}}[/tex]

A partir dessas informações e considerando que a ordem dos números escolhidos não interfere no seu produto, podemos determinar o número de escolhas de quatro números do conjunto A cujo produto seja positivo utilizando Combinações Simples para cada um dos três casos.
Caso 1: No conjunto A temos oito números positivos; assim, a escolha de quatro números positivos entre esses oito poderá ser feita de [tex]C_{8,4}[/tex] modos distintos, em que [tex]C_{8,4}[/tex] indica uma combinação dos [tex]8[/tex] números positivos tomados [tex]4[/tex] a [tex]4[/tex]:
[tex]\qquad C_{8,4}=\dbinom{8}{4}=\dfrac{8!}{(8-4)!\, 4!}=\dfrac{8!}{4!\, 4!}=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\boxed{\text{70 modos}}.[/tex]
Caso 2: No conjunto A temos oito números negativos; logo, a escolha de quatro números negativos entre esses oito poderá, da mesma forma, ser feita de [tex]C_{8,4}[/tex] modos distintos, ou seja, de [tex]\boxed{\text{70 modos}}.[/tex]
Caso 3: No conjunto A temos oito números positivos e oito números negativos. Portanto:

  • a escolha de dois números positivos entre os oito positivos poderá ser feita de [tex]C_{8,2}[/tex] modos distintos;
  • a escolha de dois números negativos entre os oito negativos também poderá ser feita de [tex]C_{8,2}[/tex] modos distintos;

onde [tex]C_{8,2}[/tex] indica uma combinação dos [tex]8[/tex] números positivos (ou negativos) tomados [tex]2[/tex] a [tex]2[/tex].
Como essas duas escolhas são independentes, pelo Princípio Multiplicativo, as escolhas de dois números positivos e de dois números negativos poderá ser feita de [tex]C_{8,2} \times C_{8,2} [/tex] modos distintos:
[tex]\qquad C_{8,2} \times C_{8,2} = \left(\dfrac{8!}{(8-2)!\, 2!}\right)^2=\left(\dfrac{8!}{6!\, 2!}\right)^2=\left(\dfrac{8\cdot 7}{2}\right)^2=28^2=\boxed{\text{784 modos}}.[/tex]
Somando-se os três resultados concluímos que existem [tex]70+70+784=\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$924$}[/tex] formas de se escolher quatro elementos no conjunto A, de modo que o produto destes elementos seja um número positivo.

(b) Neste item, observamos que, para o produto dos quatro números escolhidos ser negativo, só temos duas possibilidades:

  • Um dos números escolhidos é negativo e os outros três são positivos.
  • Três números escolhidos são negativos e o outro é positivo.

Vejam os dois esqueminhas abaixo e lembrem-se, uma vez mais, de que a multiplicação de números inteiros é comutativa.

[tex] \mathbf{\textcolor{red}{(-)}\cdot \textcolor{blue}{(+)}\cdot \textcolor{blue}{(+)} \cdot \textcolor{blue}{(+)}= \textcolor{red}{(-)}}[/tex]

[tex] \mathbf{\textcolor{red}{(-)}\cdot \textcolor{red}{(-)} \cdot \textcolor{red}{(-)} \cdot \textcolor{blue}{(+)}= \textcolor{red}{(-)}}[/tex]

Com essas informações e considerando que a ordem dos números escolhidos não interfere no seu produto, podemos determinar o número de escolhas de quatro números do conjunto A cujo produto seja negativo utilizando também Combinações Simples para cada um dos dois casos.
Caso 1: No conjunto A temos oito números positivos e oito números negativos. Assim:

  • a escolha de um número negativo entre os oito negativos poderá ser feita de [tex] C_{8,1}[/tex] modos distintos;
  • a escolha de três números entre os oito positivos poderá ser feita de [tex]C_{8,3}[/tex] modos distintos.

Como essas duas escolhas são independentes, pelo Princípio Multiplicativo, as escolhas de um número negativo e de três números positivos poderá ser feita de [tex]C_{8,1} \times C_{8,3} [/tex] modos distintos:
[tex]\qquad C_{8,1} \times C_{8,3} = \dfrac{8!}{(8-1)!\, 1!} \times \dfrac{8!}{(8-3)!\, 3!}=\boxed{\text{448 modos}}.[/tex]
Caso 2: No conjunto A temos oito números positivos e oito números negativos. Logo:

  • a escolha de três números entre os oito negativos poderá ser feita de [tex]C_{8,3}[/tex] modos distintos;
  • a escolha de um número entre os oito positivos poderá ser feita de [tex] C_{8,1}[/tex] modos distintos.

Como essas duas escolhas são independentes, pelo Princípio Multiplicativo, as escolhas de um número positivo e de três números negativos poderá ser feita de [tex]C_{8,3} \times C_{8,1} [/tex] modos distintos, ou seja, [tex]\boxed{\text{448 modos}}.[/tex]
Somando-se os dois resultados concluímos que existem [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$896$}[/tex] formas de se escolher quatro elementos no conjunto A, de modo que o produto destes elementos seja um número negativo.
Observação: Poderíamos ter evitado esses cálculos e obtido a quantidade de maneiras de se escolher quatro elementos no conjunto A de modo que o produto destes elementos seja um número negativo calculando a quantidade de maneiras de escolher quatro elementos do conjunto A, [tex]C_{16}^{4}[/tex], e subtraindo desse total a quantidade de maneiras de se escolher quatro elementos no conjunto A de modo que o produto destes elementos seja um número positivo que foi calculada no item (a):
[tex]\qquad C_{16}^{4}-924=\dfrac{16!}{(16-4)!\, 4!}-924=\dfrac{16!}{12!\, 4!}-924=1820-924=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$896$}\, .[/tex]


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