.Problema para ajudar na escola: Elementos de um conjunto – um desafio

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


(CERPERJ 2010 – Adaptado) Considere [tex]C[/tex] o conjunto formado por todos os números naturais [tex]p[/tex] para os quais [tex]\dfrac{p^2+5}{p+2}[/tex] é também um número natural.
Qual é o número de elementos de [tex]C[/tex]?

Solução


Seja [tex]p[/tex] um número natural tal que [tex]\dfrac{p^2+5}{p+2}[/tex] também seja um número natural.
A princípio, este problema parece impossível de ser resolvido, principalmente se alguém pensar em sair substituindo valores de [tex]p[/tex] na fração para produzir números naturais. Mas o que faz deste problema um desafio é que aqui entra um artifício:

  • [tex]p^2+5=(p^2-4)+9.[/tex]

Bem, você pode estar se perguntando – Tá, e daí?
Escrevendo [tex]p^2+5[/tex] como [tex](p^2-4)+9[/tex], o quociente [tex]\dfrac{p^2+5}{p+2}[/tex] pode ser reescrito de uma forma muito conveniente, observe:
[tex]\qquad \begin{align*}\boxed{\dfrac{p^2+5}{p+2}}&=\dfrac{(p^2-4)+9}{p+2}\\
&=\dfrac{p^2-4}{p+2}+\dfrac{9}{p+2}\\
&=\dfrac{(p+2)\cdot (p-2)}{p+2}+\dfrac{9}{p+2}\\
&=\dfrac{\cancel{(p+2)}\cdot (p-2)}{\cancel{p+2}}+\dfrac{9}{p+2}\\
&= \boxed{(p-2)+\dfrac{9}{p+2}}.\\
\end{align*}
[/tex]
Com isso, vamos procurar números naturais [tex]p[/tex] para os quais [tex](p-2)+\dfrac{9}{p+2}[/tex] é um número natural.
Para facilitar o nosso raciocínio, inicialmente procuraremos números inteiros [tex]p[/tex] para os quais [tex](p-2)+\dfrac{9}{p+2}[/tex] seja um número inteiro.

  • Seja, então, [tex]p[/tex] um número inteiro tal que [tex](p-2)+\dfrac{9}{p+2}[/tex] é também inteiro.
  • Note que [tex]p-2[/tex] é um número inteiro; assim, para que [tex](p-2)+\dfrac{9}{p+2}[/tex] seja inteiro, necessariamente [tex]\dfrac{9}{p+2}[/tex] é um número inteiro. Sabemos que, para que uma fração com numerador e denominador inteiros defina um número inteiro, o denominador deve ser um divisor do numerador.
    No nosso caso, [tex]p+2[/tex] deve ser um divisor de [tex]9[/tex] e, como isso, temos as seguintes possibilidades para [tex]p+2[/tex]:

    • [tex]-9, \, -3, \, -1, \, 1, \, 3, \, 9.[/tex]

    Vamos analisar esses seis valores, lembrando que, na verdade, estamos interessados em valores naturais de [tex]p.[/tex]

    • Se [tex]p+2=-9[/tex], então [tex]p=-11[/tex] e [tex]-11[/tex] não é um número natural.
    • Se [tex]p+2=-3[/tex], então [tex]p=-5[/tex] e [tex]-5[/tex] não é um número natural.
    • Se [tex]p+2=-1[/tex], então [tex]p=-3[/tex] e [tex]-3[/tex] não é um número natural.
    • Se [tex]p+2=1[/tex], então [tex]p=-1[/tex] e [tex]-1[/tex] não é um número natural.
    • Se [tex]p+2=3[/tex], então [tex]p=1[/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$}[/tex] é um valor que nos interessa pois é um número natural.
    • Se [tex]p+2=9[/tex], então [tex]p=7[/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7$}[/tex] é um valor que também nos interessa pois é um número natural.

Para quem gosta de ver para crer, veja que:

  • Se [tex]p=1[/tex], então [tex]\dfrac{p^2+5}{p+2}=\dfrac{6}{3}=3[/tex] (um número natural);
  • Se [tex]p=7[/tex], então [tex]\dfrac{p^2+5}{p+2}=\dfrac{54}{9}=6[/tex] (um número natural).

Portanto, [tex]C=\{1,7\}[/tex], ou seja, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C \text{ tem 2 elementos}$}[/tex].


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