.Problema para ajudar na escola: Duplo três dígitos

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


(UK Junior Mathematical Olympiad, 2012) Um número natural é dito duplo três dígitos se ele tem três dígitos e o produto de seus dígitos é também um número de três dígitos.
Por exemplo,

  • [tex]\boxed{679}[/tex] é um número duplo três dígitos, pois ele tem três dígitos e o produto [tex]6\times 7\times 9=\boxed{378}[/tex] também tem três dígitos.
  • [tex]\boxed{238}[/tex] não é um número duplo três dígitos; pois, embora ele tenha três dígitos, o produto [tex]2\times 3\times 8=\boxed{48}[/tex] tem apenas dois dígitos.

Qual é o menor número duplo três dígitos ?

Solução


Vamos supor que [tex]M[/tex] seja o menor número duplo três dígitos; assim, [tex]M[/tex] é da forma [tex]M=abc[/tex], com [tex]a,\,b,\,[/tex] e [tex]\,c[/tex] dígitos tais que o produto [tex]a\cdot b \cdot c[/tex] tem três algarismos.

A primeira observação a ser feita é de que os algarismos [tex]a,\,b,\,[/tex] e [tex]\,c[/tex] são não nulos. Perceba que se um desses algarismos fosse igual a zero, o produto [tex]a\cdot b \cdot c[/tex] seria nulo e não teria, portanto, três algarismos.

Agora, note que [tex]a \ne 1[/tex]; pois, caso contrário, o maior valor que o produto [tex]a\cdot b \cdot c[/tex] assumiria seria [tex]1\cdot 9 \cdot 9=81[/tex] e [tex]81[/tex] não tem três dígitos como deveria ter.
Dessa forma, [tex]a[/tex] é pelo menos [tex]2[/tex] e, como estamos procurando o menor valor de [tex]M[/tex], então [tex]M[/tex] é da forma [tex]2bc\,.[/tex]

Vamos analisar [tex]b[/tex]. Note que [tex]b[/tex] é no mínimo [tex]6[/tex]; pois, caso contrário, o maior valor que o produto [tex]a\cdot b \cdot c[/tex] assumiria seria [tex]2\cdot 5 \cdot 9=90[/tex] e [tex]90[/tex] também não tem três dígitos como o problema exige.
Com isso, como estamos procurando o menor valor de [tex]M[/tex], então [tex]M[/tex] é da forma [tex]26c\,.[/tex]

Ao analisar os números da forma [tex]26c[/tex], notamos que [tex]c=9[/tex]; pois, caso contrário, o maior valor que o produto [tex]a\cdot b \cdot c[/tex] assumiria seria [tex]2\cdot 6 \cdot 8=96[/tex] e [tex]96[/tex] não tem três dígitos.

Finalmente, como [tex]2 \cdot 6 \cdot 9=108[/tex], então [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$M=269$}[/tex] é o menor número duplo três dígitos que existe.


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