.Problema para ajudar na escola: Dois triângulos com lados paralelos

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Na figura, vemos dois triângulos cujos lados [tex] \overline{AB} [/tex] e [tex] \overline{CD} [/tex] são paralelos.
Qual o comprimento em centímetros do lado [tex] \overline{AB}[/tex]?

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Lembretes

(1) Se duas retas paralelas são intersectadas por uma transversal, então os pares de ângulos alternos internos que essa transversal define são congruentes. (Precisa relembrar estes conceitos? Dê uma passadinha nesta Sala.)
(2) Caso de Semelhança A.A. (ângulo – ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.
(3) Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.
(Há uma Sala de Ajuda sobre triângulos semelhantes no nosso Blog!)

Solução


Como as retas [tex]AB [/tex] e [tex] CD[/tex] são paralelas, as retas transversais a elas [tex]AC [/tex] e [tex] BD[/tex] definem pares de ângulos alternos internos congruentes, de acordo com o Lembrete (1). Vamos indicar as medidas de dois desses pares por [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex], conforme mostra a figura abaixo.
As retas [tex]AC [/tex] e [tex] BD[/tex], concorrentes em [tex]E[/tex], também definem um par de ângulos opostos pelo vértice, logo congruentes, com medida [tex]\theta.[/tex]

Utilizando duas quaisquer das congruências angulares acima citadas, o Lembrete (2) nos garante que os triângulos [tex]ABE[/tex] e [tex] CDE[/tex] são semelhantes.
Dessa forma, se [tex]x[/tex] é o comprimento em centímetros do lado [tex] \overline{AB}[/tex], do Lembrete (3) segue que:
[tex]\qquad \dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{x} \\
\\
\qquad 2x=40\\
\\
\qquad x=20.[/tex]
Portanto, o comprimento do lado [tex] \overline{AB}[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20 \, cm$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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