.Sala para leitura_025: Família de ângulos

Família de ângulos


Dadas duas retas distintas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex], paralelas ou não, e uma reta [tex]t[/tex] concorrente com [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex], que denominamos de transversal, automaticamente fica definida uma família de oito ângulos, conforme ilustra a figura abaixo.

Pares desses ângulos costumam receber nomes particulares, de acordo com a posição de um deles em relação à do outro:

  • alternos internos: [tex]\boxed{\hat{d}~\text{ e }~\hat{f}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{c}~\text{ e }~\hat{e}}~.[/tex]
  • alternos externos: [tex]\boxed{\hat{a}~\text{ e }~\hat{g}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{b}~\text{ e }~\hat{h}}~.[/tex]
  • correspondentes: [tex]\boxed{\hat{a}~\text{ e }~\hat{e}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{b}~\text{ e }~\hat{f}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{d}~\text{ e }~\hat{h}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{c}~\text{ e }~\hat{g}}~.[/tex]
  • opostos pelo vértice: [tex]\boxed{\hat{a}~\text{ e }~\hat{c}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{b}~\text{ e }~\hat{d}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{e}~\text{ e }~\hat{g}}~[/tex] ; [tex]~\boxed{\hat{f}~\text{ e }~\hat{h}}~.[/tex]

Quando [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] não são retas paralelas, em geral, só conseguimos garantir a congruência entre os dois ângulos que compõem um par de ângulos opostos pelo vértice. (Utilizando a nossa notação, [tex]\hat{a}~\equiv \hat{c}~[/tex] ; [tex]\hat{b}~\equiv \hat{d}~[/tex] ; [tex]\hat{e}~\equiv \hat{g}~[/tex] ; [tex]\hat{f}~\equiv \hat{h}~[/tex].) No entanto, quando [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] são retas paralelas, temos apenas duas medidas para os oito ângulos definidos por cada reta transversal, e essas duas medidas somam [tex]180^\circ[/tex].

Fantástico, não é?

Um applet para ilustrar. . .


Com o applet abaixo, vocês podem visualizar essas duas medidas a partir de duas retas paralelas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] que estão fixas e uma reta transversal [tex]t[/tex] cuja posição pode ser modificada.

Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para modificar a posição da reta transversal, clique sobre o ponto [tex]\textcolor{blue}{M}[/tex], mantenha o mouse pressionado e movimente verticalmente o ponto.
3) Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.


OBMEP_srg, criado com o GeoGebra

Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

Com a ajuda do applet é possível visualizar uma importantíssima propriedade da geometria plana:

Se duas retas paralelas são intersectadas por uma transversal, então
os pares de ângulos alternos que essa transversal define são congruentes;
os pares de ângulos correspondentes que essa transversal define são congruentes;
os pares de ângulos opostos pelo vértice que essa transversal define são congruentes.

Se [tex]r~[/tex] e [tex]~s[/tex] são retas paralelas, então, com base na notação da figura ao lado, temos que:

  • ângulos correspondentes são congruentes: [tex]\hat{a}~\equiv \hat{e}~[/tex] ; [tex]\hat{b}~\equiv \hat{f}~[/tex] ; [tex]\hat{d}~\equiv \hat{h}~[/tex] ; [tex]\hat{c}~\equiv \hat{g}~[/tex] ;
  • ângulos alternos internos são congruentes: [tex]\hat{d}~\equiv \hat{f}~[/tex] ; [tex]\hat{c}~\equiv \hat{e}~[/tex] ;
  • ângulos alternos externos são congruentes: [tex]\hat{a}~\equiv \hat{g}~[/tex] ; [tex]\hat{b}~\equiv \hat{h}~[/tex] ;
  • ângulos opostos pelo vértice são congruentes: [tex]\hat{a}~\equiv \hat{c}~[/tex] ; [tex]\hat{b}~\equiv \hat{d}~[/tex] ; [tex]\hat{e}~\equiv \hat{g}~[/tex] ; [tex]\hat{f}~\equiv \hat{h}~[/tex].

Vale a pena registrar que a congruência de apenas um par de ângulos alternos (ou um par de ângulos correspondentes) definidos em duas retas intersectadas por uma transversal garante que essas duas retas são paralelas.

Considere duas retas intersectadas por uma transversal.
Se dois ângulos alternos definidos pela transversal forem congruentes, então as duas retas são paralelas.
Se dois ângulos correspondentes definidos pela transversal forem são congruentes, então as duas retas são paralelas.

CUIDADO: A congruência de dois ângulos opostos pelo vértice definidos por uma transversal a duas retas dadas NÃO garante que essas duas retas sejam paralelas.



Equipe COM – OBMEP



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