.Problema para ajudar na escola: Divisores múltiplos

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Qual o número de divisores positivos de [tex]15^{2017}[/tex] que são múltiplos de [tex]15^{2006}[/tex] ?

Solução


Da fatoração de [tex]15^{2017}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad 15^{2017} = (3 \times 5)^{2017} = 3^{2017} \times 5^{2017}[/tex].

  • Assim, os divisores de [tex]15^{2017}[/tex] são da forma [tex]\boxed{3^n \times 5^m}\, [/tex], com [tex]\begin{cases}0 \leq n \leq 2017\\0 \leq m \leq 2017 \end{cases}\, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

Por outro lado, temos que
[tex]\qquad 15^{2006} = (3 \times 5)^{2006} =3^{2006} \times 5^{2006}[/tex].

  • Assim, os múltiplos de [tex]15^{2006}[/tex] são da forma [tex]\boxed{3^x \times 5^y}\, [/tex], com [tex]\begin{cases}x \geq 2006\\ y \geq 2006\end{cases}\, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Por [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}\, [/tex], observamos que os divisores de [tex]15^{2017}[/tex] que são múltiplos [tex]15^{2006}[/tex] são da forma:

    • [tex]\boxed{3^t \times 5^k}[/tex], com [tex]\begin{cases} 2006 \leqslant t \leqslant 2017 \\ 2006 \leqslant k \leqslant 2017\, \end{cases}\, .[/tex]

Para finalizar, perceba que existem [tex]2017-2006+1=12[/tex] escolhas para cada expoente [tex]t[/tex] e [tex]k[/tex]:

[tex]\begin{array}{c c c}
12&\, &12\\
\overline{ \text{escolhas para } t\, }&\, &\, \overline{ \text{escolhas para }k }
\end{array} [/tex],

portanto, concluímos que existem [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12 \times 12 =144$}[/tex] divisores de [tex]15^{2017}[/tex] que são múltiplos de [tex]15^{2006}[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Gincana de 2017 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Mediana

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