.Problema para ajudar na escola: Divisão com quadradinhos

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Determinar a soma dos algarismos do dividendo da divisão indicada abaixo.
p59

Os números representados pelos quadradinhos não são necessariamente iguais.

Solução


Para facilitar a discussão, vamos dar nome a cada quadradinho e executar os passos da divisão.

  • Observando o Passo 6, concluímos que [tex]P=1.[/tex]
  • Substituindo o valor de [tex]P[/tex] no Passo 8, observamos que
    [tex]\qquad \textcolor{red}{61-QR=1}[/tex]
    e assim podemos concluir que [tex]QR=60[/tex].
    Então, [tex]\boxed{Q=6} \, [/tex] e [tex]\boxed{R=0} \, [/tex].
  • O Passo 7 nos mostra que [tex]5 \times MN=QR[/tex] e já sabemos que
    [tex]QR=60[/tex]; logo, [tex]5 \times MN=60[/tex].
    Assim, [tex]MN=12[/tex], donde [tex]\boxed{M=1} \, [/tex] e [tex]\boxed{N=2} \, [/tex].

A figura ao lado mostra o nosso progresso!

[tex]\qquad \textcolor{red}{\begin{array}{r l}
6&1\\
Q&R\\
\hline
&1
\end{array}}[/tex]

  • O Passo 4 indica que [tex]Z \times MN=H6[/tex]; mas, como [tex]MN=12[/tex], [tex]Z \times 12=H6[/tex].
    Assim, considerando o algarismo da unidade de [tex]H\textcolor{blue}{6}[/tex], temos duas possibilidades para [tex]Z[/tex]: ou [tex]Z=3[/tex] ou [tex]Z=8[/tex], uma vez que [tex]2\times 3=6[/tex], [tex]2\times 8=16[/tex] e nenhum outro algarismo multiplicado por [tex]2[/tex] resulta em um número cuja unidade seja [tex]6[/tex]. Dessa forma, [tex]H6=Z \times 12=3 \times 12=36[/tex] ou [tex]H6=Z \times 12=8 \times 12=96[/tex] e é o Passo 5 que vai decidir esse impasse. Observe como.
    Efetuando essa soma, ficamos com:
    [tex]\qquad \begin{array}{c c c }
    &H&6\\
    &&6\\
    \hline
    1&F&G
    \end{array}[/tex]+ [tex]\qquad \begin{array}{c c c }
    &H^1&6\\
    &&6\\
    \hline
    1&F&2
    \end{array}[/tex]+
    Com isso já temos definido o algarismo [tex]G[/tex], [tex]\boxed{G=2}[/tex], e concluímos que [tex]H+1 \geqslant 10[/tex], já que na coluna das dezenas fica [tex]F[/tex] e “vai um” (com um pouco mais de rigor, [tex]H+1=10+F[/tex]). De qualquer forma, [tex]H \geqslant 9[/tex] e, das duas opções, [tex]H6=36[/tex] ou [tex]H6=96[/tex], resta apenas [tex]H6=96[/tex], e [tex]\boxed{H=9}.[/tex] Consequentemente, [tex]\boxed{Z=8}[/tex] e [tex]\boxed{F=0}.[/tex]

Nosso progresso:

Sabemos que
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{ \text{Dividendo= quociente}\times \text{divisor + resto}} [/tex];
assim:
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{ \text{Dividendo}=285 \times 12 +1} [/tex]
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{ \text{Dividendo}=3421} [/tex]
e, portanto, a soma dos algarismos do dividendo é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10$}.[/tex]

Para completar a divisão, basta observar que:

  • o Passo 3 mostra que [tex]C=G[/tex] e, assim, [tex]\boxed{G=2}[/tex];
  • pelo Passo 1, temos que [tex]2\times MN=DE[/tex]. Mas sendo [tex] MN=12[/tex], [tex]DE=2\times 12=24.[/tex]


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