.Problema para ajudar na escola: Continhas

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Sabendo que [tex]\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{10}[/tex] , determine o valor de [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)^4+\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-4}[/tex].

Solução


Como [tex]\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{10}[/tex], perceba que:

[tex]\qquad \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}= \dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}.[/tex]
Elevando a igualdade [tex]\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=2\sqrt{5} \, [/tex] ao quadrado, segue que:

[tex]\qquad \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2[/tex]

[tex]\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^2+2\cdot \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a}+\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=4 \cdot 5[/tex]

[tex]\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^2+2+\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=20[/tex]

[tex]\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=20-2[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=18.[/tex]
Elevando a última igualdade ao quadrado, agora ficamos com:

[tex]\qquad \left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\right)^2=\left(18\right)^2[/tex]

[tex]\qquad \left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)^2+2\cdot \dfrac{a^2}{b^2} \cdot \dfrac{b^2}{a^2} +\left(\dfrac{b^2}{a^2}\right)^2=324[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{a^4}{b^4}+2+\dfrac{b^4}{a^4}=324[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{a^4}{b^4}+\dfrac{b^4}{a^4}=324-2[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{a^4}{b^4}+\dfrac{b^4}{a^4}=322.[/tex]
Consequentemente, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\left(\dfrac{a}{b}\right)^4+\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-4}=322$} \, [/tex], lembrando que [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-4}=\dfrac{b^4}{a^4}.[/tex]


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