.Problema para ajudar na escola: Cinco idiomas

Problema
(A partir do 8º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)


Os amigos André, Bianca, Caio, Débora e Ellen moram em países diferentes, mas conversam muito pela Internet.
Quando Bianca e Caio se encontram em algum bate-papo, eles conversam em francês; mas quando Débora conversa com eles, os três conversam em português. Além disso:

    • O único idioma comum a André, Bianca e Ellen é o italiano.
    • O único idioma comum a Caio e Ellen é o espanhol.
    • Três dos cinco amigos falam inglês.
    • O idioma mais falado é o português.
    • Um dos amigos fala os cinco idiomas, outro quatro, outro três, outro dois e o amigo restante fala apenas um idioma.

Imagem das pessoas extraída de Vecteezy

Quais são os idiomas falados por cada um dos cinco amigos?

Adaptado da XXXI OPM, 2013.

Solução


Inicialmente, observe que:

  • Os cinco amigos citados são: André, Bianca, Caio, Débora e Ellen.
  • Os cinco idiomas citados são: espanhol, francês, inglês, italiano e português.

Para ajudar na solução do problema, vamos construir uma tabela com o nome dos cinco amigos e com os idiomas informados e vamos analisando as informações do problema.

  • A partir da informação de que "Quando Bianca e Caio se encontram em algum bate-papo, eles conversam em francês; mas quando Débora conversa com eles, os três conversam em português", concluímos que
    • Bianca e Caio falam francês.
    • Bianca, Caio e Débora falam português. (Cuidado, não podemos concluir daqui que Débora não fala francês.)
  • A partir da informação de que "O único idioma comum a André, Bianca e Ellen é o italiano", concluímos que:
    • André, Bianca e Ellen falam italiano.
  • A partir da informação de que "O único idioma comum a Caio e Ellen é o espanhol", concluímos que
    • Caio e Ellen falam espanhol.
    • Como espanhol é o único idioma que eles falam em comum e Caio fala português e francês, então Ellen não fala português e não fala francês.
    • Como espanhol é o único idioma que eles falam em comum e Ellen fala italiano, então Caio não fala italiano.

Faremos um primeiro preenchimento.

Idiomas/Amigos A B C D E
Espanhol
Francês
Inglês
Italiano
Português
  • Agora, a partir da informação de que "O idioma mais falado é o português", como até agora sabemos que três pessoas falam italiano, três falam português e uma não fala português, então uma quarta pessoa fala português e ninguém mais fala italiano. Então concluímos que:
    • André fala português e Débora não fala italiano.
Idiomas/Amigos A B C D E
Espanhol
Francês
Inglês
Italiano
Português
  • A partir da informação de que "um amigo fala apenas um idioma", como já sabemos que André, Bianca, Caio e Ellen falam, pelo menos, dois idiomas, concluímos que:
    • Débora fala apenas um idioma, o português.
Idiomas/Amigos A B C D E
Espanhol
Francês
Inglês
Italiano
Português
  • Analisemos a informação de que "Três dos cinco amigos falam inglês". Observe que "o único idioma comum a Caio e Ellen é o espanhol"; assim, o inglês não pode ser um idioma comum aos dois. Como Débora não fala inglês e, no máximo, um dentre os amigos Caio e Ellen fala inglês, concluímos que:
    • André e Bianca, falam inglês.
Idiomas/Amigos A B C D E
Espanhol
Francês
Inglês
Italiano
Português
  • Já sabemos que Débora fala apenas um idioma. Como já sabemos que André, Bianca e Caio falam, pelo menos, três idiomas, concluímos que:
    • Ellen fala exatamente dois idiomas e, portanto, Ellen não fala inglês.
  • Como três amigos falam inglês, o terceiro que está faltando é Caio. Logo:
    • Caio fala inglês.
Idiomas/Amigos A B C D E
Espanhol
Francês
Inglês
Italiano
Português
  • Finalmente, observe que já sabemos quem fala um idioma (Débora), dois idiomas (Ellen) e quatro idiomas (Caio). Sabemos também que André fala, no mínimo, três idiomas e Bianca fala no mínimo quatro idiomas. Como Bianca não pode ser o amigo que fala três idiomas, concluímos que:
    • Bianca fala cinco idiomas.
    • André fala três idiomas.

A última tabela mostra quantos e quais idiomas cada amigo fala!

Idiomas/Amigos A B C D E
Espanhol
Francês
Inglês
Italiano
Português

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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