(A) Problema para ajudar na escola: Cinco idiomas

Problema
(A partir do 8º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)

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Os amigos André, Bianca, Caio, Débora e Ellen moram em países diferentes, mas conversam muito pela Internet.
Quando Bianca e Caio se encontram em algum bate-papo, eles conversam em francês; mas quando Débora conversa com eles, os três conversam em português. Além disso:

• O único idioma comum a André, Bianca e Ellen é o italiano.
• O único idioma comum a Caio e Ellen é o espanhol.
• Três dos cinco amigos falam inglês.
• O idioma mais falado é o português.
• Um dos amigos fala os cinco idiomas, outro quatro, outro três, outro dois e o amigo restante fala apenas um idioma.

Imagem das pessoas extraída de Vecteezy

Quais são os idiomas falados por cada um dos cinco amigos?

Adaptado da XXXI OPM, 2013.

Solução

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Inicialmente, observe que:

• Os cinco amigos citados são: André, Bianca, Caio, Débora e Ellen.
• Os cinco idiomas citados são: espanhol, francês, inglês, italiano e português.

Para ajudar na solução do problema, vamos construir uma tabela com o nome dos cinco amigos e com os idiomas informados e vamos analisando as informações do problema.

• A partir da informação de que "Quando Bianca e Caio se encontram em algum bate-papo, eles conversam em francês; mas quando Débora conversa com eles, os três conversam em português", concluímos que
• Bianca e Caio falam francês.
• Bianca, Caio e Débora falam português. (Cuidado, não podemos concluir daqui que Débora não fala francês.)
• A partir da informação de que "O único idioma comum a André, Bianca e Ellen é o italiano", concluímos que:
André, Bianca e Ellen falam italiano.
• A partir da informação de que "O único idioma comum a Caio e Ellen é o espanhol", concluímos que
• Caio e Ellen falam espanhol.
• Como espanhol é o único idioma que eles falam em comum e Caio fala português e francês, então Ellen não fala português e não fala francês.
• Como espanhol é o único idioma que eles falam em comum e Ellen fala italiano, então Caio não fala italiano.

Faremos um primeiro preenchimento.

Idiomas/Amigos	A	B	C	D	E
Espanhol			✓		✓
Francês		✓	✓		✖
Inglês
Italiano	✓	✓	✖		✓
Português		✓	✓	✓	✖

• Agora, a partir da informação de que "O idioma mais falado é o português", como até agora sabemos que três pessoas falam italiano, três falam português e uma não fala português, então uma quarta pessoa fala português e ninguém mais fala italiano. Então concluímos que:
• André fala português e Débora não fala italiano.

Idiomas/Amigos	A	B	C	D	E
Espanhol			✓		✓
Francês		✓	✓		✖
Inglês
Italiano	✓	✓	✖	✖	✓
Português	✓	✓	✓	✓	✖

• A partir da informação de que "um amigo fala apenas um idioma", como já sabemos que André, Bianca, Caio e Ellen falam, pelo menos, dois idiomas, concluímos que:
• Débora fala apenas um idioma, o português.

Idiomas/Amigos	A	B	C	D	E
Espanhol			✓	✖	✓
Francês		✓	✓	✖	✖
Inglês				✖
Italiano	✓	✓	✖	✖	✓
Português	✓	✓	✓	✓	✖

• Analisemos a informação de que "Três dos cinco amigos falam inglês". Observe que "o único idioma comum a Caio e Ellen é o espanhol"; assim, o inglês não pode ser um idioma comum aos dois. Como Débora não fala inglês e, no máximo, um dentre os amigos Caio e Ellen fala inglês, concluímos que:
• André e Bianca, falam inglês.

Idiomas/Amigos	A	B	C	D	E
Espanhol			✓	✖	✓
Francês		✓	✓	✖	✖
Inglês	✓	✓		✖
Italiano	✓	✓	✖	✖	✓
Português	✓	✓	✓	✓	✖

• Já sabemos que Débora fala apenas um idioma. Como já sabemos que André, Bianca e Caio falam, pelo menos, três idiomas, concluímos que:
• Ellen fala exatamente dois idiomas e, portanto, Ellen não fala inglês.
• Como três amigos falam inglês, o terceiro que está faltando é Caio. Logo:
• Caio fala inglês.

Idiomas/Amigos	A	B	C	D	E
Espanhol			✓	✖	✓
Francês		✓	✓	✖	✖
Inglês	✓	✓	✓	✖	✖
Italiano	✓	✓	✖	✖	✓
Português	✓	✓	✓	✓	✖

• Finalmente, observe que já sabemos quem fala um idioma (Débora), dois idiomas (Ellen) e quatro idiomas (Caio). Sabemos também que André fala, no mínimo, três idiomas e Bianca fala no mínimo quatro idiomas. Como Bianca não pode ser o amigo que fala três idiomas, concluímos que:
• Bianca fala cinco idiomas.
• André fala três idiomas.

A última tabela mostra quantos e quais idiomas cada amigo fala!

Idiomas/Amigos	A	B	C	D	E
Espanhol	✖	✓	✓	✖	✓
Francês	✖	✓	✓	✖	✖
Inglês	✓	✓	✓	✖	✖
Italiano	✓	✓	✖	✖	✓
Português	✓	✓	✓	✓	✖

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.