.Problema para ajudar na escola: Caminho para um jardim

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Em uma praça, será utilizado um terreno retangular de [tex]4 \, m[/tex] por [tex]8 \, m[/tex] para se fazer um jardim.
O autor do projeto decidiu construir uma passarela pavimentada em torno da área a ser plantada, de modo que fiquem [tex]12[/tex] metros quadrados de terra para cultivar flores.

Qual deve ser a largura da passarela?

Solução


Observe que a área total de [tex]32 \, m^2[/tex] destinada ao jardim pode ser decomposta em cinco áreas, de acordo com a figura a seguir, na qual as medidas estão expressas em [tex]m^2 \, .[/tex]

Assim, temos que:
[tex]\qquad 32=\left(8-2x\right)\cdot x+\left(8-2x\right)\cdot x+4x+4x+12[/tex]
[tex]\qquad 32=8x-2x^2+8x-2x^2+8x+12[/tex]
[tex]\qquad 20=24x-4x^2[/tex]
[tex]\qquad 4x^2-24x+20=0[/tex]
[tex]\qquad x^2-6x+5=0 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Resolvendo a equação do segundo grau [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] teremos as possíveis soluções do problema. Apliquemos, então, a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau:

[tex]\qquad x=\dfrac{-\left(-6\right) \pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{6 \pm\sqrt{36-20}}{2}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{6 \pm\sqrt{16}}{2}[/tex]

[tex]\qquad x=\dfrac{\cancel{6} \pm \cancel{4}}{\cancel{2}}[/tex]

[tex]\qquad x=3 \pm 2 \, .[/tex]

Obtemos, assim, duas raízes para a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex]: [tex]x_1=5[/tex] e [tex]x_2=1 \, [/tex]. Mas, destas, apenas a segunda nos interessa, já que pela geometria do problema a medida [tex]x[/tex] não pode ser maior do que [tex]4[/tex].
Portanto, a largura da passarela deverá ser [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1 \, m$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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