.Problema para ajudar na escola: Caixas com docinhos

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Iracema fez 96 docinhos e quer colocá-los em caixas de forma que cada caixa contenha o mesmo número de doces.
De quantas maneiras Iracema pode fazer a separação, se cada caixa deve ter mais de 5 e menos de 20 docinhos?

Solução


Inicialmente, vamos fazer a decomposição do número [tex]96[/tex] em fatores primos, a partir da qual determinaremos todos os divisores positivos de [tex]96[/tex].

 
[tex]\begin{array}{r|l} 96 & 2 \\48 & 2 \\24 & 2 \\12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3\\1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.4 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 96 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\
48 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\
24 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{8}\\
12 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{16}\\
6 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{32}\\
3 & 3 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{3} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{6} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{12} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{24} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{48} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{96}\\
1 \end{array}[/tex]

Agora, observe que os únicos divisores de [tex]96[/tex] que estão entre [tex]5[/tex] e [tex]20[/tex] são [tex]6, \, 8, \, 12 \, [/tex] e [tex] \, 16 \, [/tex]; portanto, Iracema só poderá fazer a separação de quatro maneiras diferentes.
Para a solução do problema não é necessário o cálculo do número de caixas, mas vamos fazê-lo para você visualizar melhor a solução.

Número de docinhos Número de caixas Verificação
[tex]6[/tex] [tex]16[/tex] [tex]6\times 16=96[/tex]
[tex]8[/tex] [tex]12[/tex] [tex]8\times 12=96[/tex]
[tex]12[/tex] [tex]8[/tex] [tex]12\times 8=96[/tex]
[tex]16[/tex] [tex]6[/tex] [tex]16\times 6=96[/tex]

>Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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