.Problema para ajudar na escola: Bilhetes de uma rifa

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )


(ONEM 2010 – Adaptado) A escola de Odete vai realizar uma rifa e a turma dela ficou responsável por vender os bilhetes de [tex]2.000[/tex] até [tex]9.999[/tex]. Desses bilhetes, o professor Júlio comprou todos nos quais o algarismo [tex]3[/tex] aparecia exatamente três vezes.
Depois da compra, o professor deu para Odete todos os bilhetes que ele comprou cuja numeração tinha algum algarismo [tex]0[/tex].
Com quantos bilhetes ficou o professor Júlio?

Solução


Os bilhetes que o professor Júlio comprou têm três algarismos [tex]3[/tex] e um quarto algarismo, digamos [tex]n[/tex], diferente de [tex]3[/tex]. Temos, então, duas possibilidades para os bilhetes adquiridos pelo professor Júlio:
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] O algarismo [tex]n[/tex] é o primeiro dos quatro algarismos
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, n \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
\end{array} \, [/tex] .

[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] O algarismo [tex]n[/tex] ocupa uma posição que não a primeira:
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, n \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
\end{array}
\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, n \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
\end{array}
\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, n \, \, }\\
\end{array} [/tex] .

Analisaremos separadamente as duas situações.

[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Se [tex]n[/tex] ocupa a primeira das quatro posições, então [tex]n[/tex] pode ser [tex]2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8[/tex] ou [tex]9.[/tex] Neste caso, o professor Júlio comprou sete bilhetes e todos os sete não tinham algarismo [tex]0.[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Se [tex]n[/tex] não ocupa a primeira das quatro posições, então [tex]n[/tex] pode ser qualquer algarismo, exceto o [tex]3[/tex]. Assim temos, a princípio, [tex]9[/tex] possibilidades para [tex]n[/tex]. Mas como o professor deu a Odete os bilhetes que tinham um algarismo zero, para os bilhetes que ficaram com o professor o algarismo [tex]n[/tex] só poderia ser [tex]1, 2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8[/tex] ou [tex]9.[/tex]
Como [tex]n[/tex] poderia estar em qualquer uma das três últimas posições, o professor ficou com [tex]3 \times 8=24[/tex] bilhetes.

Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], concluímos que o professor Júlio ficou com [tex]7+24= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$31$}[/tex] bilhetes para concorrer na rifa da escola da Odete.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-bilhetes-de-uma-rifa/