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Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )
(ONEM 2010 – Adaptado) A escola de Odete vai realizar uma rifa e a turma dela ficou responsável por vender os bilhetes de [tex]2.000[/tex] até [tex]9.999[/tex]. Desses bilhetes, o professor Júlio comprou todos nos quais o algarismo [tex]3[/tex] aparecia exatamente três vezes.
Depois da compra, o professor deu para Odete todos os bilhetes que ele comprou cuja numeração tinha algum algarismo [tex]0[/tex].
Com quantos bilhetes ficou o professor Júlio?
Solução
Os bilhetes que o professor Júlio comprou têm três algarismos [tex]3[/tex] e um quarto algarismo, digamos [tex]n[/tex], diferente de [tex]3[/tex]. Temos, então, duas possibilidades para os bilhetes adquiridos pelo professor Júlio:
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] O algarismo [tex]n[/tex] é o primeiro dos quatro algarismos
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, n \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
\end{array} \, [/tex] .
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] O algarismo [tex]n[/tex] ocupa uma posição que não a primeira:
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, n \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
\end{array}
\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, n \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }\\
\end{array}
\qquad \begin{array}{c c c c}
\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, 3 \, \, }&\underline{ \, \, n \, \, }\\
\end{array} [/tex] .
Analisaremos separadamente as duas situações.
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Se [tex]n[/tex] ocupa a primeira das quatro posições, então [tex]n[/tex] pode ser [tex]2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8[/tex] ou [tex]9.[/tex] Neste caso, o professor Júlio comprou sete bilhetes e todos os sete não tinham algarismo [tex]0.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Se [tex]n[/tex] não ocupa a primeira das quatro posições, então [tex]n[/tex] pode ser qualquer algarismo, exceto o [tex]3[/tex]. Assim temos, a princípio, [tex]9[/tex] possibilidades para [tex]n[/tex]. Mas como o professor deu a Odete os bilhetes que tinham um algarismo zero, para os bilhetes que ficaram com o professor o algarismo [tex]n[/tex] só poderia ser [tex]1, 2, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8[/tex] ou [tex]9.[/tex]
Como [tex]n[/tex] poderia estar em qualquer uma das três últimas posições, o professor ficou com [tex]3 \times 8=24[/tex] bilhetes.
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], concluímos que o professor Júlio ficou com [tex]7+24= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$31$}[/tex] bilhetes para concorrer na rifa da escola da Odete.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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