.Problema para ajudar na escola: Bandeirinhas coloridas

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Uma fábrica produz vários modelos para bandeirinhas que podem ser utilizadas em festas de aniversário.
Bianca escolheu, para a sua festa de dez anos, bandeirinhas confeccionadas em quadrados de papel nos quais são desenhados dois quadrados coloridos de verde e de azul e cujos vértices são pontos médios dos lados dos quadrados nos quais estão inscritos, conforme mostra a figura.
Em cada bandeirinha, qual a fração que está colorida de azul?

Solução


Para resolver este problema, vamos precisar da relação entre a área de um quadrado e a área do quadrado definido pelos pontos médios do primeiro quadrado.

  • Se você conhece o Teorema de Pitágoras, chame de [tex]l[/tex] o comprimento dos lados do quadrado inicial.
    Ligando os pontos médios de dois lados adjacentes desse quadrado, obtemos um triângulo retângulo cujos catetos medem ambos [tex]\dfrac{l}{2}[/tex] e cuja hipotenusa é o lado do quadrado menor, de medida, digamos, [tex]x[/tex].
    Então, pelo Teorema de Pitágoras:
  • [tex]\qquad\qquad x^2=\left(\dfrac{l}{2}\right)^2+\left(\dfrac{l}{2}\right)^2[/tex]

    [tex]\qquad\qquad x^2=\dfrac{l^2}{4}+\dfrac{l^2}{4}=\dfrac{l^2}{2}.[/tex]
    Sendo [tex]x \, [/tex] e [tex] \, l[/tex] medidas de lados de quadrados, [tex]x\gt 0 \, [/tex] e [tex] \, l\gt 0[/tex]; logo,
    [tex]\qquad x=\sqrt{\dfrac{l^2}{2}}=\dfrac{l}{\sqrt{2}}.[/tex]
    Agora, observe que a área do quadrado interno é [tex] x^2=\boxed{\dfrac{l^2}{2}} \, [/tex] e a área do quadrado inicial é [tex]\boxed{l^2} \, [/tex]; assim, a área do quadrado interno é metade da área do quadrado inicial.

  • Agora, se você não conhece o Teorema de Pitágoras, chame de [tex]l[/tex] o comprimento dos lados do quadrado inicial e de [tex]x[/tex] o comprimento dos lados do quadrado menor.
    Trace o segmento horizontal e o segmento vertical determinados pelos pontos médios do quadrado maior (vértices do quadrado menor) e observe que ficam definidos oito triângulos retângulos cujos catetos medem ambos [tex]\dfrac{l}{2}[/tex] e cuja hipotenusa mede [tex]x[/tex].
  • Esses oito triângulos são congruentes e cada um tem área [tex]\dfrac{\frac{l}{2}\times \frac{l}{2}}{2}=\dfrac{l^2}{8} \, [/tex]; assim, [tex]\boxed{A_1=\dfrac{l^2}{8}} \, [/tex] e [tex]\boxed{A_2=\dfrac{l^2}{8}} [/tex] . Desta forma segue que:
    [tex]\qquad \boxed{\text{Área do quadrado maior}}= 4A_1+4A_2=8\dfrac{l^2}{8}=\boxed{l^2} [/tex] ;

    [tex]\qquad \boxed{\text{Área do quadrado menor}}= 4A_2=4\dfrac{l^2}{8}=\boxed{\dfrac{l^2}{2}} \, .[/tex]
    A primeira área já conhecíamos, pois sabemos que [tex]l[/tex] é o comprimento dos lados do quadrado maior; mas a segunda área é a que permite concluir que a área do quadrado interno é metade da área do quadrado inicial.

Podemos agora resolver o problema; para isso, sejam Área 1, Área 2 e Área 3 as áreas dos três quadrados, conforme indica a figura abaixo.

Note que, se [tex]A[/tex] é a área do quadrado maior, então:
Área 1[tex]=A\\[/tex]
Área 2[tex]=\dfrac{A}{2}\\[/tex]
Área 3[tex]=\dfrac{\frac{A}{2}}{2}=\dfrac{A}{4}.[/tex]
Como em cada bandeirinha a área colorida de azul é Área 3 e a área da bandeirinha é Área 1, temos que um quarto de cada bandeirinha está colorida de azul.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-bandeirinhas-coloridas/