.Problema para ajudar na escola: Desafio – Área de um quadrilátero

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


Na figura abaixo, temos um quadrado [tex]ABCD[/tex] de lado [tex]2 \, \text{cm}[/tex]; [tex]E[/tex] é o ponto médio do segmento [tex]AB[/tex] e [tex]F[/tex] é um ponto entre [tex]E[/tex] e [tex]D[/tex].
Se os segmentos [tex]CF[/tex] e [tex]DE[/tex] são perpendiculares, determinar a área do quadrilátero [tex]BCFE[/tex].

Solução 1


  • Os dados do problema não nos permitem identificar o tipo do quadrilátero [tex]BCFE[/tex]; assim, vamos traçar o segmento [tex]EC[/tex] e dividi-lo nos triângulos [tex]EFC[/tex] e [tex]ECB[/tex], conforme mostra a figura ao lado.
    Aproveitando a figura, perceba que, utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos obter facilmente os comprimentos dos segmentos [tex]EC[/tex] e [tex]ED[/tex], já que se esse comprimento for [tex]x \, \text{cm}[/tex], então [tex]x^2=2^2+1^2=5[/tex] e, com isso, temos que [tex]\boxed{x=\sqrt{5} \, \text{cm}} \, . \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

  • Mas o que precisamos é da área do quadrilátero [tex]BCFE[/tex] e esta será a soma das áreas dos triângulos [tex]EFC[/tex] e [tex]ECB[/tex].
    Assim, se [tex]S[/tex] for a área de [tex]BCFE[/tex] , então:
    [tex]\qquad \boxed{S=S_1+S_2} \, \quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex],
    onde [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex] são as áreas dos triângulos [tex]EFC[/tex] e [tex]ECB \, [/tex], respectivamente.
    Perceba que [tex]ECB[/tex] é um triângulo retângulo de catetos medindo [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] centímetros, logo a área [tex]S_2[/tex] é dada por
    [tex]\qquad \boxed{S_2= \dfrac{1\times 2}{2}=1 \, \text{cm}^2} \, \quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex].
    Agora, resta apenas calcular [tex]S_1.[/tex]

  • Para o cálculo de [tex]S_1 \, [/tex] precisamos obter os comprimentos dos segmentos [tex]EF[/tex] e [tex]CF[/tex] e para isso vamos explorar o triângulo [tex]EDC.[/tex]
    Da figura ao lado, observamos que a área do triângulo [tex]EDC[/tex] é [tex]\dfrac{2\times 2}{2}=2 \, \text{cm}^2[/tex] e que essa área pode também ser calculada utilizando-se como base o segmento [tex]ED[/tex] e como altura o segmento [tex]CF.[/tex] Dessa forma, segue que:
    [tex]\qquad 2= \dfrac{base \times altura}{2}= \dfrac{x \times h}{2}= \dfrac{\sqrt{5} \times h}{2}[/tex]
    donde concluímos que [tex]\boxed{h= \dfrac{4}{\sqrt{5}} \, \text{cm}}. \, \quad \textcolor{#800000}{(iv)} [/tex]
    Para obtermos o comprimento do segmento [tex]EF[/tex], basta observar que o triângulo [tex]EFC[/tex] é retângulo, logo:
    [tex]\qquad z^2+h^2=\left(\sqrt{5} \right)^2[/tex]
    [tex]\qquad z^2+\left(\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right)^2 \stackrel{\textcolor{#800000}{(iv)}}{=} 5[/tex]
    [tex]\qquad z^2+\dfrac{16}{5}= 5[/tex]
    [tex]\qquad z^2= 5-\dfrac{16}{5}=\dfrac{9}{5}[/tex]
    e, como [tex]z \gt 0[/tex], já que [tex]z[/tex] é o comprimento de um dos lados de um triângulo, temos que [tex]\boxed{z= \dfrac{3}{\sqrt{5}}}. \, \quad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
    Por [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(v)} \, [/tex], segue que
    [tex]\qquad S_1=\dfrac{z \cdot h}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{5}}}{2}=\dfrac{\dfrac{12}{5}}{2}=\dfrac{12}{10}[/tex]
    e, então, [tex]\boxed{S_1=\dfrac{6}{5} \, \text{cm}^2} \, \quad \textcolor{#800000}{(vi)}[/tex]

Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(vi)} \, [/tex], segue que:
[tex]\qquad S=\dfrac{6}{5}+1=\dfrac{6+5}{5}=\dfrac{11}{5}[/tex]
e, portanto, a área do quadrilátero [tex]BCFE[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{11}{5} \, \text{cm}^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Observe, inicialmente, que a área [tex]S[/tex] do quadrado [tex]ABCD[/tex] é a soma das áreas dos triângulos [tex]EAD[/tex] e [tex]FCD[/tex] e do quadrilátero [tex]BCFE \, [/tex], conforme podemos observar na figura ao lado.
Assim, [tex]\boxed{S_1+S_2+S_3=4 \, \text{cm}^2}. \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Perceba que [tex]S_3[/tex] é a área pedida no problema, então precisamos calcular as áreas [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2.[/tex]

  • Área [tex]S_1[/tex]
    Como [tex]EAD[/tex] é um triângulo retângulo de catetos medindo [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] centímetros, a área [tex]S_1[/tex] é dada por:
    [tex]\qquad \boxed{S_1= \dfrac{1\times 2}{2}=1 \, \text{cm}^2} \, \quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex].
  • Área [tex]S_2[/tex]
    Aqui teremos um pouco mais de trabalho, pois precisaremos calcular os comprimentos dos segmentos [tex]CF[/tex] e [tex]FD.[/tex] Vamos lá…
      • Para calcularmos o comprimento [tex]h[/tex] do segmento [tex]CF \, [/tex], observamos na figura ao lado que a área do triângulo [tex]EDC[/tex] é [tex]\dfrac{2\times 2}{2}=2 \, \text{cm}^2[/tex] e que essa área pode também ser calculada utilizando-se como base o segmento [tex]ED[/tex] e como altura o segmento [tex]CF.[/tex]
        Observe que, utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos obter facilmente o comprimento do segmento [tex]ED[/tex], uma vez que se esse comprimento for [tex]x \, \text{cm}[/tex], então [tex]x^2=2^2+1^2=5[/tex] e, com isso, temos que [tex]\boxed{x=\sqrt{5} \, \text{cm}} \, . \quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
        Dessa forma, segue que:
        [tex]\qquad 2= \dfrac{base \times altura}{2}= \dfrac{x \times h}{2} \stackrel{\textcolor{#800000}{(iii)}}{=} \dfrac{\sqrt{5} \times h}{2}[/tex]
        donde concluímos que [tex]\boxed{h= \dfrac{4}{\sqrt{5}} \, \text{cm}}. [/tex]

      • Para calcularmos o comprimento [tex]y[/tex] do segmento [tex]FD \, [/tex], observamos na figura ao lado que [tex]DFC[/tex] é um triângulo retângulo. Assim, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos que:
        [tex]\qquad y^2+h^2=4[/tex]
        [tex]\qquad y^2+\left( \dfrac{4}{\sqrt{5}} \right)^2=4[/tex]
        [tex]\qquad y^2+\dfrac{16}{5} =4[/tex]
        [tex]\qquad y^2=4-\dfrac{16}{5}[/tex]
        [tex]\qquad y^2=\dfrac{4}{5}[/tex]
        e, sendo [tex]y \gt 0[/tex], concluímos que [tex]\boxed{y=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \, \text{cm}}. [/tex]

    Pronto, já podemos calcular a área [tex]S_2[/tex]:
    [tex]\qquad S_2=\dfrac{base \times altura}{2}=\dfrac{y\times h}{2}=\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{5}}\times \dfrac{4}{\sqrt{5}}}{2}[/tex]
    ou seja, [tex]\boxed{S_2= \dfrac{4}{5} \, \text{cm}^2}. \, \quad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]

Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)} \, [/tex], segue que
[tex]\qquad S_1+S_2+S_3=4[/tex]
[tex]\qquad S_3=4-S_1-S_2[/tex]
[tex]\qquad S_3=4-1-\dfrac{4}{5}[/tex]
[tex]\qquad S_3=3-\dfrac{4}{5}[/tex]
[tex]\qquad S_3=\dfrac{15-4}{5}[/tex]
[tex]\qquad S_3=\dfrac{11}{5}.[/tex]
Portanto, a área do quadrilátero [tex]BCFE[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{11}{5} \, \text{cm}^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Ferramentas que podem ajudar na próxima solução

Propriedade [tex]1[/tex]: Se duas retas paralelas são intersectadas por uma transversal, então os pares de ângulos alternos internos que essa transversal define são congruentes. Precisa relembrar estes conceitos? Dê uma passadinha por aqui.

Propriedade [tex]2[/tex]: Caso de Semelhança A.A. (ângulo – ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes. Há uma Sala de Ajuda sobre o tema no Blog!

Propriedade [tex]3[/tex]: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.

Solução 3


Área total como soma de três áreas

Esta solução começa como a anterior, observando que a área [tex]S[/tex] do quadrado [tex]ABCD[/tex] é a soma das áreas dos triângulos [tex]EAD[/tex] e [tex]FCD[/tex] e do quadrilátero [tex]BCFE \, [/tex], conforme podemos observar na figura ao lado. Assim, [tex]\boxed{S_1+S_2+S_3=4 \, \text{cm}^2} \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex].
Perceba que [tex]S_3[/tex] é a área pedida no problema, então precisamos calcular as áreas [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2.[/tex]
A área [tex]S_1[/tex] é imediata pois, como [tex]EAD[/tex] é um triângulo retângulo de catetos medindo [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] centímetros, temos:
[tex]\qquad \boxed{S_1= \dfrac{1\times 2}{2}=1 \, \text{cm}^2} \, \quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex].

Para prosseguir, vamos utilizar a semelhança entre os triângulos [tex]AED[/tex] e [tex]FDC[/tex].
De fato, note que os ângulos [tex]FDC \, [/tex]e [tex] \, AED[/tex] são congruentes, pois são ângulos alternos internos definidos por duas paralelas e uma transversal. Logo, pelo caso [tex]A.A.[/tex], os triângulos [tex]AED[/tex] e [tex]FDC[/tex] são semelhantes (ver figura ao lado).
Veja que a razão de semelhança pode ser obtida pela razão entre os comprimentos das hipotenusas dos triângulos [tex]AED[/tex] e [tex]FDC[/tex], digamos [tex]a \, [/tex] e [tex] \, f[/tex], respectivamente:
[tex]\qquad \dfrac{a}{f}=\boxed{\dfrac{a}{2}} \, \quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
e podemos calcular o comprimento [tex]a \, [/tex] do segmento [tex]DE[/tex] aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [tex]AED[/tex], já que conhecemos os comprimentos dos catetos [tex]\overline{AE}[/tex] e [tex]\overline{AD} \, [/tex], respectivamente [tex]1 \, \text{cm}[/tex] e [tex]2 \, \text{cm}[/tex]:
[tex]\qquad a^2=1^2+2^2=5[/tex], donde [tex]\boxed{DE=\sqrt5 \, \text{cm}} \, \quad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex].
Por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], a razão de semelhança entre os triângulos [tex]AED[/tex] e [tex]FDC[/tex] é dada por [tex]\dfrac{DE}{2}=\boxed{\dfrac{\sqrt5}{2}}[/tex]. Logo, a razão entre as áreas desses triângulos será [tex]\dfrac{S_1}{S_2}=\left(\dfrac{\sqrt5}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}[/tex], isto é, teremos [tex]S_2=\dfrac{4}{5}S_1=\dfrac{4}{5}\times 1=\boxed{\dfrac{4}{5} \, \text{cm}^2} \, \quad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex].
Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(v)} \, [/tex], segue que:
[tex]\qquad S_1+S_2+S_3=4[/tex]
[tex]\qquad S_3=4-S_1-S_2[/tex]
[tex]\qquad S_3=4-1-\dfrac{4}{5}[/tex]
[tex]\qquad S_3=3-\dfrac{4}{5}[/tex]
[tex]\qquad S_3=\dfrac{15-4}{5}[/tex]
[tex]\qquad S_3=\dfrac{11}{5}.[/tex]

Portanto, a área do quadrilátero [tex]BCFE[/tex] é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{11}{5} \, \text{cm}^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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